Лекция № 15 “Линейные однородные ду II с постоянными коэффициентами”

1. Характеристическое уравнение для лоду II.

Рассмотрим ЛОДУ II с постоянными коэффициентами , где и – постоянные действительные числа. Для того чтобы решить ЛОДУ II с постоянными коэффициентами достаточно найти два частных линейно-независимых решения и . Эти решения будем искать в виде , где действительное число подбирается так, чтобы приведенная функция была бы решением исходного уравнения. Подстановка функции в ЛОДУ II с постоянными коэффициентами дает

.

В силу того, что , то . Отсюда видно, что функция является решением ЛОДУ II с постоянными коэффициентами, если число определяется как корень уравнения .

О1. Уравнение называется характеристическим уравне-нием для ЛОДУII с постоянными коэффициентами.

Решим характеристическое уравнение, которое является квадратным уравне-нием. Возможны следующие варианты:

1). Дискриминант . В этом случае характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня . Вводя обозначения и , можно записать два частных линейно-независимых решения и . Тогда по Т1 Лекции № 14 общее решение ЛОДУ II с постоянными коэффициентами в данном случае будет иметь вид: .

Пример 1. Решить ДУ II .

Согласно изложенной методике ищем решение в виде , тогда

.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид . Дискриминант этого квадратного уравнения . Корни уравнения являются комплексно-сопряженными величинами , т.е. коэффициенты и . Таким образом, два частных линейно-независимых решения и . Тогда по Т1 Лекции № 14 общее решение будет иметь вид:

.

2). Дискриминант . В этом случае характеристическое уравнение имеет два совпадающих вещественных корня . Допустим, что эти корни различаются на бесконечно малую величину , т.е. , тогда два частных линейно-независимых решения имеют вид

и .

Следовательно, функция также является решением ЛОДУII с

постоянными коэффициентами, т.е.

= .

Отсюда следует, что в рассматриваемом случае два частных линейно-неза-висимых решения можно выбрать в виде и . Тогда общее решение ЛОДУ II с постоянными коэффициентами в данном случае будет иметь вид: .

Пример 2. Решить ДУ II .

Согласно изложенной методике ищем решение в виде , тогда

.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид . Дискриминант этого квадратного уравнения . Корни уравнения в этом случае вещественны и совпадают , следовательно, два частных линейно-независимых решения можно выбрать в виде и . Тогда общее решение ЛОДУII с постоянными коэффициентами в данном случае будет иметь вид: .

3). Дискриминант . В этом случае характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня . Отсюда следует, что в рассматриваемом случае два частных линейно-независимых ре-шения ЛОДУ II с постоянными коэффициентами имеют вид и . Тогда общее решение ЛОДУ II с постоянными коэффициентами в данном случае записывается в виде: .

Пример 3. Решить ДУ II .

Согласно изложенной методике ищем решение в виде , тогда

.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид . Дискриминант этого квадратного уравнения . Корни уравнения в этом случае вещественны и различны и . Отсюда следует, что в рассматриваемом случае два частных линейно-не-зависимых решения ЛОДУ II с постоянными коэффициентами имеют вид и . Тогда общее решение ЛОДУ II с постоянными коэффициентами в данном случае записывается в виде: .