2. Линейные ду I.
О2.
Дифференциальное
уравнение первого порядка вида
называется линейным
ДУ
I.
Решение линейного ДУ I проводят по схеме:
–
искомую
функцию представляют в виде произведения
двух функций, одну из которых можно
выбрать произвольным образом, т.е.
;
–
находят
ее производную
;
–
найденные
величины подставляют в линейное ДУ I
;
– группируют, например, второе и третье слагаемые уравнения
;
–
так
как одну из функций
или
можно выбрать произвольным образом, то
выберем функцию
так, чтобы выражение, записанное в
круглых скобках обратилось в нуль, тогда
уравнение будет эквивалентно системе
дифференциальных уравнений первого
порядка с разделяющимися пере-менными,
т.е.
;
– решают первое уравнение системы (при этом постоянную интегрирования выбирают равной нулю в силу произвольности отыскиваемой функ-ции);
– найденную функцию подставляют во второе уравнение системы и решают его (при этом постоянная интегрирования будет произвольной и не равной нулю);
– находят искомую функцию .
Пример
4.
Решить ДУ I
.
По
форме записи определяем, что данное ДУ
I
является линейным (сравните с теоретической
формой записи:
;
).
Применим вышеприведенную методику:
;
;
.
Полученное
уравнение эквивалентно системе
дифференциальных уравнений первого
порядка с разделяющимися переменными
.
Решим первое уравнение системы
.
Потенциируя
полученное равенство, находим, что
функция
.
Подставим эту функцию во второе уравнение
системы и решим его
.
Сокращая
обе части равенства на
и разделяя переменные, получим
.
Проинтегрируем полученное равенство
,
вычисляем интегралы и находим, что
функция
.
Найдем неизвестную функцию заданного
ДУ I
.
3. Уравнение Бернулли.
О3.
Дифференциальное
уравнение первого порядка вида
называется уравнением
Бернулли.
З5.
При
уравнение Бернулли переходит в линейное
ДУ I,
а при
– в ДУ I
с разделяющимися переменными.
Разделим
все уравнение на
,
получим
.
Введем в рассмотрение новую функцию
,
тогда
.
Откуда находим, что величина
.
Подставим найденные величины в уравнение
Бернулли
,
которое приводится к виду линейного
дифференциального уравнения первого
порядка
.
Следовательно, уравнение
Бернулли можно решать непосредственно
по схеме решения линейного ДУ I.
Пример
5.
Решить ДУ I
.
По
форме записи определяем, что данное ДУ
I
является уравнением Бернулли (сравните
с теоретической формой записи:
;
).
Применим вышеприведенную методику:
;
;
.
По-лученное уравнение эквивалентно
системе дифференциальных уравнений
первого порядка с разделяющимися
переменными
или
.
Решим первое уравнение системы
.
Откуда
получаем
.
Потенциируя полученное равенство,
находим, что функция
.
Подставим эту функцию во второе уравнение
системы и решим его
.
Сокращая в правой части равенства на
и разделяя переменные, получим
.
Проинтегрировав полученное равенство
,
находим, что
.
Откуда функция
.
Найдем неизвестную функцию заданного
ДУ I
.