5. Вторая космическая скорость.
Известно, что на
любое тело массой
,
которое находится на высоте
над поверхностью Земли, имеющей массу
и форму шара радиусом
,
действует сила притяжения Земли
,
где
– гравитационная постоянная. Второй
космической скоростью
называется
такая скорость, при которой тело не
возвращается на Землю. Это означает,
что телу придается такая кинетическая
энергия
(
– скорость движения), что оно может быть
удалено в бесконечно удаленную точку
по отношению к Земле. Для того чтобы
удалить тело в бесконечно удаленную
точку по отношению к Земле, необ-ходимо
совершить работу против сил гравитации
.
Приравнивая полученное выражение для работы значению кинетической энергии, получим выражение для второй космической скорости
.
6. Численность популяции с перекрывающимися поколениями.
Пусть численность
некоторого биологического вида в момент
времени
равна
.
Рассмотрим размножение этого вида в
условиях неограниченного коли-
чества пищи,
отсутствия хищников и конкурентов, а
также стихийных катастроф и бедствий.
За промежуток времени
рождается
(
– коэффициент рождаемости) особей, а
умирает
(
– коэффициент смертности) особей. Тогда
численность популяции изменяется на
величину
,
где
– коэффициент пропорциональности.
Отсюда следует, что
.
Интегрируя и потенцируя первообразную,
получим
.
Применим эту формулу для расчета
количества людей живущих на Земле. По
данным переписи 1950г. их количество
составляло 2 млрд. человек, поэтому
полученную формулу можно записать в
виде
.
Известно, что каждые 30 лет число людей
удваивается, следовательно,
.
Таким образом, окончательная формула
для расчета живущих на Земле людей имеет
вид
.
Использование этой формулы показало,
что к 2000г. на Земле должно проживать 6
млрд. человек, что практически совпало
с данными по международной переписи
населения.
Тема: Дифференциальные уравнения Лекция № 12 “Дифференциальные уравнения I порядка”
1. Основные определения.
О1. Соотношение
вида
(
– независимая переменная,
– неизвестная функция, подлежащая
отысканию,
– ее производные вплоть до порядка
)
называется дифференциальным
уравнением порядка
.
О2. Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
О3. Дифференциальным
уравнением I
порядка
называется соотношение вида
.
О4. Если
удается выразить производную
из заданного соотношения, определяющего
дифференциальное уравнение I
порядка (ДУI),
то говорят, что уравнение
разрешено относительно первой производной.
Используя определение производной через отношение дифференциалов
функции и аргумента,
можно ДУI
записать в виде
,
которое в общем виде можно записать так
.
О5. Дифференциальное уравнение называется ДУI, записанным в дифференциалах.
О6. Процесс решения ДУ называется интегрированием, а график функции, определяющей решение ДУ, называется интегральной кривой.
Пример 1.
Найти интегральные кривые ДУI
.
Так как первообразной
для заданного уравнения является функция
,
где
– постоянная интегрирования, то линия
определяет интегральную кривую, а
функция
определяет интегральные кривые.
О7. Общим
решением
ДУI
называется
функция
такая, что
– при
любом значении
эта функция удовлетворяет данному
уравнению;
– каковы
бы ни были
и
,
принадлежащие области определения
функции
,
существует единственное значение
такое, что
.
О8. Частным
решением
ДУI
называется функция, которая получается
из общего решения при конкретном значении
постоянной интегрирования
.
З1. Решение ДУ может быть получено в явном, неявном или параметри-ческом виде.
Для нахождения частного решения ДУI задается начальное условие в виде
или
.
О9. Нахождение частного решения ДУ называется задачей Коши.
Геометрический смысл ДУ состоит в следующем: правая часть ДУ задает в каждой точке производную, т.е. она определяет тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой. Совокупность отрезков, определяющих касательные к интегральной кривой, дают поле направлений для интегральной кривой.
О10. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к интегральным кривым имеют одно и то же значение.
Пример 2.
Построить поле направлений и изоклины
для ДУI
.
Правая часть данного уравнения определяет концентрические окружности с центром в начале координат, следовательно, поле направлений и изоклины имеют вид (Рис. 18):
Рис. 18. Поле изоклин для дифференциального урав-
нения первого порядка .
Т1.
(о существовании и единственности
решения ДУI).
Если функция
,
стоящая в правой части ДУI,
непрерывна в области
,
то для любых точек из области
существует решение ДУI
такое, что
.
Если при этом непрерывна частная
производная
,
то это решение единственно.
О11. Точка, в которой нарушаются условия теоремы, называется особой.
З2. Если в области через каждую точку проходит только одна интегральная кривая, то через особую точку проходит несколько интегральных кривых.