Лекция № 11 “Применение определенного интеграла в науке и технике”

1. Работа по сжатию пружины.

Пусть тело массой прикреплено к пружине с коэффициентом упругости . Требуется вычислить работу, которую совершит сила упругости при растяжении пружины от до (Рис. 13):

Рис. 13. Вычисление работы упругой

силы.

Из физики известно, что сила упругости , а работа . Отсюда находим, что . Если выполняется неравенство , то , т.е. она совершается против силы упругости. В противном случае работа совершается силой упругости.

2. Работа по откачке жидкости из резервуара.

Пусть резервуар представляет собой параболоид вращения и имеет высоту . Резервуар заполнен жидкостью с плотностью . Вычислить работу, которую надо совершить при полной откачке жидкости из резервуара (Рис. 14).

Рис. 14. Вычисление работы по откачке

жидкости из параболоида.

Параболоид вращения задается уравнением . На слой жидкости, расположенный на высоте между и , действует сила тяжести , где – ускорение свободного падения, – масса рассматриваемого слоя жидкости. В силу того, что ( – объем рассматриваемого слоя жидкости), то . Для тела вращения, которым является резервуар с жидкостью, элемент объема . Работу, которую надо совершить по откачке этого слоя жидкости, равна . Следовательно, работа по откачке всей жидкости из резервуара равна

.

3. Работа по постройке пирамиды.

Пусть необходимо построить пирамиду высотой со стороной основания из материала с плотностью . Требуется найти работу по возведению этой пирамиды (Рис. 15).

Рис. 15. Вычисление работы по пос-

тройке пирамиды.

Для того чтобы увеличить высоту пирамиды на , надо затратить материал массой . Так как треугольник подобен треугольнику , то . В силу того, что треугольник подобен тре-угольнику , то . Отсюда следует, что , т.е. . Таким образом, сила тяжести, действующая на выделенный слой материала, будет равна . Элемент работы определяется формулой . Тогда работа по возведению всей пирамиды будет равна .

4. Давление жидкости на вертикально погруженную стенку.

Пусть в жидкость с плотностью вертикально погрузили пластину. Требуется вычислить давление, оказываемое со стороны жидкости на пластину (Рис. 16).

Рис. 16. Вычисление давления жид- кости на вертикально погруженную

жидкость.

Давление на глубине обозначим через , тогда давление в слое жидкости от до будет равно , где – функция, которая опмсывает форму пластины. Отсюда находим давление, оказываемое со стороны жидкости на пластину: .

Пример 1. Вычислить давление жидкости на пластину, имеющую форму по-луокружности с радиусом , диаметр которой совпадает с поверхностью (Рис. 17).

Рис. 17. Вычисление давления жидкости

на пластину, имеющую форму полуок-

ружности с радиусом .

В данном примере , следовательно, давление жидкости на пластину равно . Используя метод замены переменной интегрирования, показать самостоятельно, что давление равно .