Лекция № 10 “Несобственные интегралы”
1. Определенные интегралы с одним или двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной на интервале интегрирования функции.
(Несобственные интегралы I рода).
Т1.
Пусть функция
непрерывна на интервале
(или интервалах
;
).
Если существует предел
(или
пределы
;
,
соответственно), то существует интеграл
(или интегралы
;
,
соответственно).
О1. Определенный интеграл с одним или двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной на интервале интегрирования функции называется несобственным интегралом I рода
(
;
).
З1. Несобственный интеграл I рода вычисляется в смысле главного значения.
В дальнейшем будем изучать только интегралы , другие интегралы рассматриваются аналогично.
Пример 1.
Вычислить интеграл
.
.
Пример 2.
Вычислить интеграл
.
(применим
метод замены переменной
интегрирования)
(пересчитаем
пределы интегрирования)
|
|
|
|
|
|
.
О2. Несобственный интеграл I рода называется сходящимся, если пределы в указанных выше равенствах конечны, в противном случае несобственный интеграл I рода называется расходящимся.
Пример 3.
Выяснить сходимость интеграла
.
Рассмотрим возможные случаи:
а)
:
– расходится;
б)
:
– расходится;
в)
:
–
сходится.
Следовательно,
данный несобственный интеграл расходится
при
и сходится при
.
Этот интеграл часто используется в
теории рядов (см. ниже).
Рассмотрим признак сходимости несобственного интеграла I рода:
Т2.
Пусть функции
и
непрерывны на интервале
и удовлетворяют неравенству
.
Тогда из сходимости интеграла
вытекает сходимость интеграла
,
а из расходимости интеграла
следует расходимость интеграла
.
Пример 4.
Исследовать на сходимость интеграл
.
На интервале
справедливы неравенства
.
Так как
(
)
сходится (см. Пример 3), то по признаку
сходимости сходится и интеграл
.
Пример 5.
Исследовать на сходимость интеграл
.
На интервале
справедливы неравенства
.
Так как
(
)
расходится (см. Пример 3), то по признаку
сходимости расходится и интеграл
.
Сл.
из Т2. Если сходится интеграл
,
то сходится и интеграл
.
Пример 6.
Исследовать на сходимость интеграл
.
Так как
и интеграл
(
)
сходится (см. Пример 3.), то по признаку
сходимости сходится и интеграл
.
2. Определенные интегралы с конечными пределами интегрирования от
функций, имеющих точки разрыва второго рода на интервале интегрирования. (Несобственные интегралы II рода).
О3. Если функция не существует хотя бы в одной точке , то интеграл называется несобственным интегралом II рода.
З2. Если функция в точке терпит разрыв II рода, то обычное определение определенного интеграла как предела интегральной суммы непригодно.
Вычисление
определенного интеграла с конечными
пределами от разрывной на интервале
интегрирования функции производится
посредством предельного перехода
(
).
О4. Если приведенные пределы существуют и конечны, то несобственный интеграл II рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Пример 7.
Вычислить интеграл
.
(пересчитаем
пределы интегрирования)
|
|
|
|
|
|
.
Рассмотрим признак сходимости несобственных интегралов II рода:
Т2.
Пусть функции
и
непрерывны на интервале
и удовлетворяют неравенству
,
а в точке
обе функции терпят разрыв II
рода. Тогда из сходимости интеграла
вытекает
сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
З3. При исследовании сходимости несобственных интегралов I и II родов чаще всего используют интегралы такого типа, как приведен в Примере 3.