2. Вычисление объема и площади поверхности тела.

1. (объем любого тела с известным законом изменения площади поперечного сечения) Пусть дано некоторое тело, для которого известен закон изменения площади поперечного сечения, например, вдоль оси абсцисс, т.е. (Рис. 11).

Рис. 11. Объем тела с задан-

ным законом изменения пло-

щади поперечного сечения.

Тогда объем такого тела вычисляется по формуле .

Пример 6. Вычислить объем эллипсоида .

Если зафиксировать абсциссу, т.е. положить , то получим . Разделив это равество на , найдем, что в плоскости эллипс описывается уравнением с полуосями

и .

Вычислим площадь этого эллипса (Рис. 12):

Рис. 12. Отыскание закона измене-

ния площади поперечного сечния

эллипсоида.

Так как эллипс симметричен относительно координатных осей, то достаточно вычислить площадь его четвертой части (см. Рис. 12) и увеличить полученную площадь в 4 раза, т.е. (произведем замену переменной интегрирования) (пересчитаем пределы интегрирования по формуле замены)

.

Следовательно, площадь поперечного сечения в направлении оси абсцисс с учетом выражений для полуосей и определяется формулой

.

Таким образом, объем эллипсоида будет равен

.

2. (объем тела вращения)

О1. Если тело получается путем ротации линии (или ) вокруг оси ( ), то оно называется телом вращения.

Площадь поперечного сечения такого тела описывается формулой (или ), следовательно, объем тела вращения вычисляется по формуле: – при вращении вокруг оси абсцисс;

– при вращении вокруг оси ординат.

Пример 7. Вычислить объем тела вращения, если оно получено путем ротации линии (Рис. 8) вокруг оси абсцисс при .

Согласно приведенной формуле

.

3. (площадь поверхности тела вращения) Площадь поверхности тела вращения вычисляется по формуле

– при вращении вокруг оси абсцисс;

– при вращении вокруг оси ординат.

Пример 8. Вычислить площадь поверхности тела вращения шара радиуса .

Шар получается путем вращения линии вокруг оси абсцисс при . Первая производная от указанной функции

, следовательно,

.

3. Длина дуги.

1. Если линия определяется явной функцией , то длина дуги при вычисляется по формуле .

2. Если линия задана параметрически при , то длина дуги вычисляется по формуле .

3. Если линия задана в полярной системе координат и дуга ограничена лучами и , то то длина дуги вычисляется по формуле .

Пример 9. Вычислить длину дуги при .

Вычислим первую производную от заданной функции . Таким образом, . Следовательно, длина дуги

(пересчитаем пределы интегри-

рования)

.