5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Метод интегрирования
по частям в определенном интеграле
основан на формуле:
.
З4. При использовании метода интегрирования по частям в определенном интеграле к проинтегрированной части применяется формула Ньютона-Лейбница.
Пример 4.
Вычислить
.
К интегралам такого вида применяется метод интегрирования по частям
.
6. Определенный интеграл от четной и нечетной функций
по симметричному интервалу интегрирования.
Пусть функция
является нечетной функцией, т.е.
,
тогда
|
|
|
|
|
|
.
Вывод: Определенный интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу интегрирования равен нулю.
Пусть функция
является четной функцией, т.е.
,
тогда
|
|
|
|
|
|
.
Вывод: Определенный интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования равен удвоенному значению определенного интеграла по половине симметричного интервала интегрирования.
Пример 5.
Вычислить
.
В силу того, что подинтегральная функция является четной, то
.
Пример 6.
Вычислить
.
Так как подинтегральная
функция нечетная, то
.
Лекция № 9 “Геометрические приложения определенного интеграла”
1. Площадь плоской фигуры.
1. Пусть функция
непрерывна на сегменте
и принимает на этом отрезке только
неотрицательные значения (
),
тогда согласно
геометрическому смыслу определенный
интеграл от этой функции в пределах от
до
будет равен площади криволинейной
трапеции
.
Пример 1.
Вычислить площадь плоской фигуры,
ограниченной линиями
и
.
Первая линия
определяет прямую, которая является
осью абсцисс, а вторая линия
определяет параболу с ветвями,
направленными вниз, и поднятую ввех по
оси ординат на 4 единицы. Парабола
пересекает ось абсцисс в точках (
)
и
(Рис.
8):
4
.
Рис. 8. Площадь плоской фигуры, ограниченной
линиями
,
,
и
.
–2 2
Следовательно,
(подинтегральная
функция четная, а пределы интегрирования
симметричные, поэтому)
.
Отсюда площадь плоской фигуры
.
2. Пусть функция
непрерывна на сегменте
и принимает
на этом отрезке только неположительные
значения (
),
тогда
площадь
плоской фигуры может быть вычислена по
одной из формул:
;
;
.
Для практических расчетов предпочтительной является последняя формула.
3. Пусть функция непрерывна на сегменте и меняет на этом от-резке свой знак в точке , например, с “+” на “–”, тогда площадь плоской фигуры определяется формулой
.
Пример 2.
Вычислить площадь плоской фигуры,
ограниченной линиями
и
при
.
Заданные линии
определяют полуволну косинусоиды,
которая изменяет свой знак с “+” на “–”
в точке
.
Следовательно, площаль такой плоской
фигуры будет равна (Рис.
9):
1
Рис. 9. Площадь плоской фигуры, ограниченной
линиями и при .
– 1
.
4. Пусть функции и непрерывны на сегменте и на этом отрезке удовлетворяют неравенству (Рис. 10), тогда площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле
.
Рис. 10. Площадь плоской фигуры, ограниченной
линиями и на сегменте .
Пример 3.
Вычислить площадь плоской фигуры,
ограниченной линиями
и
при
(см. Рис.
7).
Если построить
графики указанных линий (см. Пример 1
Лекция
№ 7),
то роль функции
играет функция
,
а в качестве функции
выступает функция
,
следовательно,
.
5. Если непрерывная
кривая, ограничывающая криволинейную
трапецию, задана в параметрическом виде
при
,
то площадь трапеции вычисляется по
формуле
.
Пример 4.
Вычислить площадь под одной аркой
циклоиды
.
Циклоида – это
кривая, которую описывает точка на ободе
колеса при его полном повороте,
следовательно, для одной арки циклоиды
параметр
.
По приведенной формуле площадь под
аркой циклоиды равна
.
6. Если непрерывная
кривая, ограничывающая криволинейную
трапецию, задана в полярной системе
координат
и фигура ограничена лучами
и
,
то площадь плоской фигуры вычисляется
согласно формуле
.
Пример 5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной одним витком спирали Архимеда.
Спираль Архимеда
(см. Лекцию
№ 9
Первый семестр)
описывается уравнением
.
Для одного витка спирали Архимеда угол
.
Используя вышеприведенную формулу,
получаем
.