Лекция № 8 “Методы вычисления определенного интеграла”

1. Вычисление определенного интеграла на основе его определения.

В качестве вычисления определенного интеграла согласно его определения рассмотрим вычисление интеграла . Разобъем исходный интервал на элементарных интервалов с одинаковой длиной . На каждом -ом элементарном отрезке выберем произвольную точку следующим образом: ; ; ; … . Вычислим интегральную сумму ( )

.

Перейдем к пределу, устремив к бесконечности (при этом ), получим

.

2. Производная от определенного интеграла с

переменным верхним пределом интегрирования.

Определенный интеграл зависит как от подинтегральной функции , так и пределов интегрирования и .

О1. Если верхний предел интегрирования в определенном интеграле ( ) является переменной величиной, то интеграл называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегри-рования.

Т1. (теорема Барроу) Производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования равна значению подинтегральной функции на верхнем пределе интегрирования, т.е.

.

Док-во. Рассмотрим значение определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования в приращенной точке, т.е.

.

Следовательно, приращение определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования будет равно . Согласно Т4 Лекции № 7 можно записать, что . Таким образом, получаем, что . Переходя в этом равенстве к пределу при , находим, что .

Пример 1. Найти производную от интеграла .

По теореме Барроу имеем .

3. Формула Ньютона-Лейбница.

В силу того, что по теореме Барроу , то величина является первообразной для функции . Если функция является другой первообразной для функции , то в соответствии с Т2 Лекции № 1, они связаны соотношением . При имеем . Откуда находим, что . При с учетом полученного выражения для постоянной интегрирования находим формулу Ньютона-Лейбница

.

З1. Согласно формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл равен разности между значением первообразной на верхнем пределе интегрирования и значением первообразной на нижнем пределе интегрирования.

Пример 2. Вычислить .

Найдем первообразную для подинтегральной функции и воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница

.

4. Метод замены переменной интегрирования.

Т2. Пусть функция непрерывна на сегменте и пусть , причем первая производная этой функции непрерывна на

сегменте , а значения этой функции на концах сегмента равны и , соответственно. Тогда .

Док-во. Вычислим левую и правую части данного равенства с использованием формулы Ньютона-Лейбница: левая часть ;

правая часть .

З2. Отметим, что при использовании метода замены переменной интегрирования в определенном интеграле, надо обязательно пересчитывать пределы интегрирования.

Пример 3. Вычислить .

Воспользуемся методом замены переменной интегрирования в определенном интеграле, получим (пересчитаем пределы интегрирования по формуле замены :

получим) .

З3. При использовании метода замены переменной интегрирования в определенном интеграле после нахождения первообразной с новой переменной интегрирования не надо возвращаться к старой переменной интегрирования, а надо воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.