2. Свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл от линейной комбинации функций равен той же линейной комбинации определенных интегралов от этих функ-ций

.

Из этого свойства вытекают следующие частные случаи:

а) определенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) определенных интегралов от этих функций:

.

б) постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла .

2. При перестановке пределов интегрирования местами определенный интеграл изменяет свой знак на противоположный .

3. Если пределы интегрирования равны между собой, то определенный ин-теграл равен нулю . 4. .

5. Если на сегменте функция , то .

6. (Аддитивность определенного интеграла) Если точка , то

.

Геометрический смысл свойства (Рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация свойства аддитивнос-

ти определенного интеграла.

З3. Свойство аддитивности определенного интеграла справедливо и тогда, когда точка лежит вне интервала : Пусть, например, , тогда можно записать, что . Следовательно,

.

Используя свойство 2 для вычитаемого определенного интеграла, получим формулу свойства 6.

7. Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначается переменная интегрирования в определенном интеграле

.

3. Неравенства для определенных интегралов.

Т1. Если непрерывные на сегменте функции и удов-летворяют неравенству , то .

З4. Данная теорема применяется для сравнения определенных интегралов без их непосредственного вычисления.

Док-во. Введем в рассмотрение новую функцию . Так как , то по свойству 5 для определенного интеграла

.

Отсюда следует доказываемое неравенство.

Пример 1. Пусть и заданы на сегменте . Доказать, что

.

Построим графики данных функций на сегменте (Рис. 7):

1 Рис. 7. Сравнение определенных интегралов.

1

Из рисунка видно, что . Отсюда, по Т1 имеем .

Т2. Если – наименьшее, а – наибольшее значения непрерывной на сегменте функции , то

.

З5. Данная теорема применяется для оценки определенного интеграла без его непосредственного вычисления.

Док-во. Так как функция непрерывна на сегменте и достигает своих наименьшего и наибольшего значений либо на концах заданного сегмента, либо внутри этого отрезка, то все ее значения для данного интервала удовлетворяют двойному неравенству , следовательно, по Т1 для определенных интегралов будет выполняться неравенства или с учетом следствия из свойства 1 для определенного интеграла имеем . Используя свойство 4 для определенного интеграла получаем .

Т3. .

Т4. (о среднем интегральном значении подинтегральной функции) Если функция непрерывна на сегменте , то существует такая точка , что .

Док-во. Так как функция непрерывна на сегменте и достигает своих наименьшего и наибольшего значений, то из неравенств Т2 следует, что . С другой стороны, по свойству для непрерывных функций (Т6 Лекции № 16, Первый семестр) существует хотя бы одна точка такая, что . Сравнивая полученные неравенства получаем, что .

О4. Величина называется средним интегральным значением функции на сегменте .