Конспект лекций по высшей математике

для студентов

(II семестр)

Донецк

Стр

Тема: Неопределенный интеграл

Лекция № 1 “Неопределенный интеграл и его свойства” 5

1. Первообразная. Неопределенный интеграл.

2. Свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица основных неопределенных интегралов.

Лекция № 2 “Методы интегрирования” 8

1. Метод тождественных преобразований подинтегральной функции.

2. Метод замены переменной интегрирования.

3. Метод интегрирования по частям.

Лекция № 3 “Комплексные числа” 13

1. Формы записи комплексного числа.

2. Действия с комплексными числами.

Лекция № 4 “Интегрирование рациональных дробей” 16

1. Полиномы. Разложение полиномов на простые множители.

2. Итегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных

коэффициентов.

3. Интегрирование простых дробей.

Лекция № 5 “Интегрирование тригонометрических

функций” 22

1. Универсальная тригонометрическая подстановка.

2. Интегралы вида ( и – целые числа).

3. Интегралы вида , , .

4. Интегралы вида и ( и – целые

положительные числа).

5. Интегралы вида и ( – целое положительное

число).

Лекция № 6 “Интегрирование некоторых иррациональных

функций” 26

1. Интегралы вида .

2. Интегралы вида .

3. Понятие о неберущихся интегралах.

Тема: Определенный интеграл

Лекция № 7 “Определенный интеграл и его свойства” 28

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Свойства определенного интеграла.

3. Неравенства для определенных интегралов.

Лекция № 8 “Методы вычисления определенного

интеграла” 33

1. Вычисление определенного интеграла на основе его определения.

2. Производная от определенного интеграла с переменным верхним

пределом интегрированрия.

3. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Метод замены переменной интегрирования.

5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

6. Определенный интеграл от четной и нечетной функций по

симметричному интервалу интегрирования.

Лекция № 9 “Геометрические приложения определенного

интеграла” 37

1. Площадь плоской фигуры.

2. Вычисление объема и площади поверхности тела.

3. Длина дуги.

Лекция № 10 “Несобственные интегралы” 42

1. Определенные интегралы с одним или двумя бесконечными

пределами интегрирования от непрерывной на интервале

интегрирования функции. (Несобственные интегралы I рода).

2. Определенные интегралы с конечными пределами интегрирования

от функций, имеющих точки разрыва второго рода на интервале

интегрирования. (Несобственные интегралы II рода).

Лекция № 11 “Применение определенного интеграла

в науке и технике” 46

1. Работа по сжатию пружины.

2. Работа по откачке жидкости из резервуара.

3. Работа по постройке пирамиды.

4. Давление жидкости на вертикально погруженную стенку.

5. Вторая космическая скорость.

6. Численность популяции с перекрывающимися поколениями.

Тема: Дифференциальные уравнения

Лекция № 12 “Дифференциальные уравнения I порядка” 49

1. Основные определения.

2. ДУI с разделяющимися переменными.

Лекция № 13 “Однородные и линейные ДУI” 51

1. Однородные ДУI.

2. Линейные ДУI.

3. Уравнение Бернулли.

Лекция № 14 “Дифференциальные уравнения второго

порядка” 56

1. Дифференциальные уравнения II порядка, сводящиеся к ДУI.

2. Линейные ДУII.

Лекция № 15 “Линейные однородные ДУII с постоянными

коэффициентами” 59

1. Характеристическое уравнение для ЛОДУII.

2. Линейные неоднородные ДУII с постоянными коэффициентами.

3. Метод вариации постоянных.

Лекция № 16 “ЛНДУII с постоянными коэффициентами

со специальной правой частью” 64

1. ЛНДУII со специальной правой частью.

2. Принцип суперпозиции частных решений.

Лекция № 17 “Применение ДУII к изучению

механических и электрических колебаний” 69

1. Колебания тела на пружине.

2. Колебания в электрическом контуре.

Тема: Ряды

Лекция № 18 “Числовые ряды и их свойства” 71

1. Понятие числового ряда.

2. Свойства сходящихся рядов.

Лекция №19 “Достаточные признаки сходимости

положительных рядов” 74

1. Сравнение рядов.

2. Признак Даламбера.

3. Интегральный признак Коши.

Лекция № 20 “Знакочередующиеся ряды.

Признак Лейбница” 78

1. Признак Лейбница.

2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных ряда.

3. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Лекция № 21 “Функциональные ряды” 81

1. Функциональный ряд. Критерии Коши и Вейерштрассе.

2. Свойства суммы функционального ряда.

Лекция № 22 “Степенные ряды” 84

1. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

2. Разложение функций в степенные ряды.

3. Применение степенных рядов.

Лекция № 23 “Тригонометрические ряды. Ряды Фурье” 90

1. Гармонический анализ. Тригонометрический ряд.

2. Ряд Фурье.

Лекция № 24 “Ряд Фурье для четных и нечетных

функций” 94

1. Сходимость ряда Фурье.

2. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

3. Ряд Фурье для функций с периодом и .