Экзаменационные вопросы
.docВопросы к экзамену по высшей математике для студентов групп 2КМ1 и 2КМ2
(3 семестр).
Дифференциальные уравнения.
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
2. Определение дифференциального уравнения. Порядок, решение, общее решение дифференциального уравнения. Геометрическая интерпретация общего решения дифференциального уравнения.
3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения. Задача Коши.
4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Примеры.
5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
6. Уравнения, приводящиеся к однородным.
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
8. Уравнения Бернулли.
9. Уравнения в полных дифференциалах.
10. Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия. Задача о свободном падении материальной точки. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Задача динамики материальной точки.
11. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
12. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление). Примеры.
13. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Извлечение корня №-ой степени из комплексного числа.
14. Комплексные числа в показательной форме. Формула Эйлера.
15. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Теорема существования и единственности решения.
16. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Понятие фундаментальной системы решений. Определитель Вронского. Теорема о структуре общего решения.
17. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Теорема о структуре общего решения. Метод неопределенных коэффициентов. Теорема наложения. Примеры. Метод вариации произвольных постоянных. Примеры.
19. Общие понятия о системах дифференциальных уравнений. Теорема Коши существования и единственности решения. Метод исключения неизвестных для нормальных систем.
20. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Понятие фундаментальной системы решений. Определитель Вронского. Характеристическое уравнение. Схема решения систем однородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Ряды.
1. Числовые ряды. Сумма ряда. Общий член ряда. Сходимость ряда. Основные свойства сходящихся рядов. Остаток ряда.
2. Ряды с положительными членами. Необходимый признак сходимости рядов.
3. Гармонический ряд,
4. Признаки сравнения рядов.
5. Признак Даламбера. Радикальный признак сходимости Коши.
6. Интегральный признак сходимости. Примеры.
7. Знакопеременные ряды. Теорема о сходимости знакопеременного ряда.
8. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
Абсолютная и условная сходимости.
9. Функциональные ряды. Область сходимости. Правильно сходящиеся ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.
10. Степенные ряды. Теорема Абеля. Следствие. Интервал сходимости, радиус сходимости.
11. Свойства степенных рядов.
12. Ряды Тейлора и Маклорена. Остаточный член ряда Тейлора. Структура остаточного члена.
13. Разложение функции в ряд Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена показательной функции.
14. Разложение в ряд Маклорена тригонометрических функций. Формула Эйлера.
15. Биномиальный ряд. Разложение в ряд Маклорена логарифмических функций: ln(l+x); In(l-x); ln(l+x/l-x).
16. Разложение в ряд Маклорена обратных тригонометрических функций
arcsin х; arctg x.
17. Применение степенных рядов для приближенных вычислений функций.
18. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов.
19. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
20. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточные условия разложимости функций в ряд Фурье.
21. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
22. Разложение функции в неполный ряд Фурье.
13. Ряды Фурье для функций с произвольным периодом.