23. Решение биматричной игры .

Биматричная игра 2х2

А11	А12
А21	А22

А=

B11	B12
B21	B22

В =

Р – частота применения 1 игроком стратегии (А1)

1-Р – частота применения стратегии (А2)

q – частота применения стратеги (В1)

1. q – частота применения стратегии (В2)

Формулы

На (р, q) ; Нв (р, q)

1. На (р, q) = а11*(р q) + р(1- q) + а21*(1-р)q + а22*(1-р)(1- q)

На = (а11-а12-а21+а22)р q + (а12-а22)р + (а21-а22)* q + а22

3. Нв = (в11-в12-в21+в22)р q + (в12-в22)р + (в21-в22)* q + в22

Введем следующие обозначения:

С = А11- А12- А21+А22

D = B11- B12- B21+B22

α = A22-A12

β = B22-B21

Ɣ = А21-А22

Δ = B12-B22

Ha(p;q) = C*(pq) – αp+ Vq +A22

(*)

Hb(p;q) = D*(pq) – Δ p + βq + B22

Раздел II .

Определение: Пара чисел р* и q*, 0≤ р*≤ 1; 0 ≤ q*≤1.

Определим равновесие, если выполнены 2 условия;

1. (Неравенство)

1.1 На (рq) < Ha(p*,q*) Ɣ p ϵ [0;1]

1.2 HB(p*q) ≤ HB(p*q*)

где, На (средний выигрыш 1 го игрока)

НВ (средний выигрыш 2 го игрока)

Неравенство (1) означает стратегии (p*q*) – определяем равновесие, если отклонение одного из игроков или условие, что другой игрок сохраняет свой выбор приводит к тому, что выигрыш относившегося игрока только уменьшается, таким образом, отклонение от равновесия не выгодно самому игроку.

24. Кооперативные игры.

Введение. Игра называется кооперативные , если в ней игрокам разрешено обсуждать свои стратегии и договор о совместных действиях игры образуют коалицию.

Теория кооперативных игр изучает тип коалиции который образуется в процессе игры.

Обозначим через N множество всех 4 игроков, игроков нумерации.

N=1,2,3…n. Коалиция показывает любое множество SCN S- по S множеств N.

число коалиций составлений из R игроков= C^k_n

n= =

Число всевозможной коалиций:

^k_n=2ⁿ

создание коалицию S множество игроков коалиции действует как один игрок против остальных игроков. Выигрыш коалиций S сумма выигрыша всех игроков этой коалиции.

Опр. Характеристическая функция называется адетивной, если

V(A B)= V(A)+V(B) (2)

A₁B N

A B=

Если равенство (2) выполняется для любых A B= , двух не пересекающих множеств.

Теорема:

Характеристическая функция является аддитивной когда и только тогда, когда выполняется равенство.

(3), где

V(i)- выигрыш игрока с номером i

V(N)-выигрыш коалиции, соответствующей из все N игроков.

Доказательство: чтобы получить формулу (3)нужно показ умножить на имеющей на пересечение и принять формулу (2).

Возьмем две не переменные множители

S и L не пересекаются

S L= , тогда

V (S)+V(L) V(S L)

V(S) (1`)

V(L)(2`)

(3`)

Отсутствие А \В – разность 2 множителей, которые состоят их элементов принадлежит множеству А и не принадлежит множителю В.

V(S L)+V (N \S L) V(N)

V(N)=

Если сложить неравенство (1`)+(2`)+(3`), то в левой части получится

V(N )= ) V(S)+ V(L)+V(N\S L) V(N) (4`)

Все неравенства должны быть равенствами.

Теорема доказана.

Опр. если характер функции является аддитивной, т.е выполняется равенство.

=V(N)

Тогда кооперативная игра называется не существенной.

Опр. Кооперативная игра называет существенная, если выполняется неравенство.

V(N)

Игра существенная если выигрыш вне коалиции .

S дележи в кооперативных играх. Одна из основных задач кооперативной игры как поднять выигрыши. Если в результате распределения выигрыш коалиции.

Опр. Дележом называется вектор X= (x_1, x₂,… x_n)