8. Нижняя и верхняя цена игры. Максиминные и минимаксные стратегии.

Рассмотрим парную конечную игру.

игроки А и В. А имеет стратегии А₁, А₂, . . ., А_n В имеет стратегии В₁, В₂, . . ., В_n Дано, что в результате выбора игроками произвольной пары стратегий А_i (i=1, . . ., n), B_j (j=1, . . ., n) исход игры равен α_ij. По определению - это выигрыш 1го игрока и проигрыш 2го. Матрица α_ij называется платежной матрицей.

Аi Bj	В1	В2	…	Вn	αi	α=maxαi
А1	α11	α12	…	α1n	α1
А2	α21	α22	…	α2n	α2
…	…	…	…	…
Аn	αm1	αm2	…	αmn	αm	αi=minαij j
βj	β1	β2		βn
β=minβj				βj=max βji i

Максиминный принцип.

α_i=minα_ij β_j=max β_ji

j i

Величина (1) называется нижней ценой игры или максиминный выигрыш 1го игрока. Гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Стратегия, соответствующая формуле (1) называется максиминной. Далее этот игрок старается минимизировать выигрыш 1го игрока. (2) β – верхняя цена игры или минимальный выигрыш. Это гарантированный проигрыш игрока В. Стратегия, при которой осуществляется (2) называется минимаксной стратегией. Второй игрок не будет проигрывать больше величины , если он будет придерживаться минимаксной стратегии.

9. Решение матричных игр с седловой точкой.

Если верхняя и нижняя цены совпадают, то эта величина называется ценой игры.

Стратегии, соответствующие цене игры являются оптимальными стратегиями. Они вместе составляют решение игры. Пара чистых стратегий А_i и B_j дают оптимальное решение тогда и только тогда, когда соответствующий элемент платежной матрицы является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация называется седловой точкой. Обозначим через А^* и В* пару чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой. Тогда должно выполняться неравенство:

10. Решение игры в смешанных стратегиях для платежной матрицы 2х2.

Если партнеры играют только 1 раз, то игрокам целесообразно придерживаться принципа минимакса в игре седловой точки, так и в игре без нее. В случае многократного повторения игры седловой точки. Когда же однократно повторяется игра без седловой точки, то постоянное использование минимакса стратегии становится не выгодным. Теорией игр доказано, что при многократно повторяемой игры без седловой точки игроку А для получения выигрыша больше, чем (альфа) следует чередовать свои стратегии,А1,А2,А3,…Аn. Подобная ситуация у игрока В.Смешанной стратегией игрока А называется применение чистых стратегий с вероятностью Р1,Р2,…Рm, причем можно записать в виде матрицы: ∑ Р_i=1 и ∑ q_i=1. S_A= S_d = Каждую чистую стратегию можно рассмотреть как частный случай, когда с частотой 1,а все другие, S_A= Смешанные стратегии, избранные игроками, называются оптимальными, если односторонние отклоняется любым игроком от своей оптимальной может изменить средний выигрыш только в сторону не выгодным для этого игрока. Средний выигрыш В при применении игроками оптимальных значений цена игры. Стратегии входящие в стратегии с ненулевыми частотами полезные. Теорема Неймона каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение вероятно в области смешанных стратегий любая игра имеет цену ɑ≤V≤β ɑ<β общ. случай. Утверждение. Если 1 из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то выигрыш остается неизменным. Если 2 игрок не выходит за пределы своих полезных стратегий. Это следствие Неймона.