18. Алгоритм составления симплексной таблицы. Преобразование симплексной таблицы.

Для составления симплекс-таблицы во всех равенствах в условии задачи члены, содержащие переменные, переносятся в левую часть, свободные оставляются справа, т.е. задача записывается в виде системы равенств:

Далее эта система оформляется в виде симплекс-таблиц:

Примечание. Названия базисных переменных здесь взяты лишь для определенности записи и в реальной таблице могут оказаться другими.

Порядок работы с симплекс таблицей

Первая симплекс-таблица подвергается преобразованию, суть которого заключается в переходе к новому опорному решению.

Алгоритм перехода к следующей таблице такой:

• просматривается последняя строка (индексная) таблицы и среди коэффициентов этой строки (исключая столбец свободных членов  ) выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании max, либо наибольшее положительное при задачи на min. Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным и данная таблица является последней;

• просматривается столбец таблицы, отвечающий выбранному отрицательному (положительному) коэффициенту в последней строке- ключевой столбец, и в этом столбце выбираются положительные коэффициенты. Если таковых нет, то целевая функция неограниченна на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет;

• среди выбранных коэффициентов столбца выбирается тот, для которого абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимальна. Этот коэффициент называетсяразрешающим, а строка в которой он находится ключевой;

• в дальнейшем базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента, вводится в число базисных. Строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных:

• разделим каждый элемент ключевой строки (исключая столбец свободных членов) на разрешающий элемент и полученные значения запишем в строку с измененной базисной переменной новой симплекс таблицы.

• строка разрешающего элемента делится на этот элемент и полученная строка записывается в новую таблицу на то же место.

• в новой таблице все элементы ключевого столбца = 0, кроме разрезающего, он всегда равен 1.

• столбец, у которого в ключевой строке имеется 0,в новой таблице будет таким же.

• строка, у которой в ключевом столбце имеется 0,в новой таблице будет такой же.

• в остальные клетки новой таблицы записывается результат преобразования элементов старой таблицы:

19. Двойственные задачи линейного программирования.

Пусть дана задача линейного программирования

F(x) = c₁x₁ + … + c_mx_n → max

а ₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + с_m1х_n ≤ в₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + с_m2х_n ≤ в₂

....а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + с_mnх_n ≤ в_m

Двойственной задачей является задача

Ζ (Y)= в₁у₁ + в₂у₂ + … + в_mу_m → min

а ₁₁у₁ + а₁₂у₂ + … + с_m1у_n ≥ с₁

а₂₁у₁ + а₂₂у₂ + … + с_m2у_n ≥ с₂

….

а_n1у₁ + а_n2у₂ + … + с_mnу_n ≥ с_m

y_j ≥0, j = 1, 2 … m

y₁, y₂…y_m – неизвестные двойственной задачи

Неизвестных в двойственной задачи столько, сколько ограниченных неравенств в двойственной задачи. Соответствующее число ограниченной двойственной задачи равно числу неизвестной двойственной задачи. Если матрицу обозначить через (А). Если одна из пары двойственной задачи имеет оптимальное решение, то двойственная задача так же имеет оптимальное решение, причём значение целевых функций на оптимальном решении совпадают.

Если одна из задач не имеет решения, то так же не имеет решения и двойственная задача. Это утверждение позволяет сводить задачи на min, max.

Пример: Ζ (x) = 6x₁ + 7х₂ + 9x₃ → min

1 х₁ + 2х₂ + 3х₃ ≥ 5

1х₁ + 1х₂ + 1х₃ ≥2

1х₁ + 2х₂ + 6х₃ ≥7

Х₁≥0; Х₂≥0; Х₃≥0

F(Y)= 5у₁ + 2у₂ + 4у₃ → max A = A^T =

1 у₁ + 2у₂ + 1у₃ ≤ 6

2у₁ + 1у₂ + … + 2у₃ ≤ 7

3у₁ + 1у₂ + 6у₃ ≤ 9

Формулы вычисления среднего выигрыша

Чтобы найти средние или математические ожидания нужно каждое значение случайной величины умножить на соответствующую вероятность и результат сложить. Значению a_ij соответствующей вероятности р_i , q_j

a_ij соответствующая вероятность р_i , q_j ; Н_А(Р,Q)

Н_А(Р,Q) = (для первого)

Н_B(Р,Q) = (для второго)