30. Интегрирование рациональных дробей.

Рациональной дробью называется дробь P(x)/Q(x), числитель P(x) и знаменатель Q(x) которой – многочлены. Рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.

У любой неправильной дроби можно выделить её целую часть. Для этого следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель. Поэтому любую неправильную дробь можно представить в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.

Например, неправильную дробь

можно представить в виде

Т.о., если необходимо проинтегрировать неправильную дробь, то, представив её в виде суммы многочлена и правильной дроби, с помощью метода разложения сведём решение к интегрированию правильной дроби.

Интегрирование правильных рациональных дробей(ниже), знаменателями которых являются многочлены первой и второй степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:

                   (18)

       (19)

При интегрировании дробей можно использовать следующую формулу, получаемую с помощью метода замены переменной:

           (20)

31. Метод неопределенных коэффициентов при интегрировании рациональных дробей.

Чтобы разложить правильную рациональную дробь на простые дроби, необходимы следующие действия.

1. Разложить знаменатель Q(x) на линейные и квадратные множители, не имеющие действительных корней. Каждому сомножителю (x-a)^k разложения Q(x) отвечает в разложении дроби выражение вида

(1)

Каждому сомножителю - выражение вида

(2)

2. Записать разложение на простейшие дроби, используя выражения (1) и (2), при этом все коэффициенты пока неопределенные.

4.     Полученное равенство привести к общему знаменателю.

5.     Раскрыть скобки, привести подобные члены и получить систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Решив эту систему, определим коэффициенты и запишем разложение дроби на простые дроби.

Если дробь является неправильной, то прежде всего необходимо выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде

, где M(x) - многочлен; - правильная дробь; ее следует разложить на простейшие дроби, затем проинтегрировать каждое слагаемое.

32. Интегрирование некоторых иррациональных функций

1. Интегралы вида рационализируются подстановкой , где - общий знаменатель дробей . 2. Интеграл от дифференциального бинома выражается через конечную комбинацию элементарных функций лишь в трех случаях:        2.1. - целое число, подстановка ( - наименьший общий знаменатель дробей ).        2.2. - целое число, подстановка ( - знаменатель дроби ).        2.3. - целое число, подстановка ( - знаменатель дроби ). В остальных случаях интеграл от дифференциального бинома не выражается через конечное число элементарных функций. 3. Интеграл вида , подстановка . 4. Интеграл вида , подстановка или . 5. Интеграл вида , подстановка или . 6. Интеграл вида с помощью подстановки сводится к одному из интегралов (3) – (5). 7. Интеграл вида можно также упростить подстановками Эйлера:        7.1. Если        7.2. Если        7.3. Если трехчлен имеет различные корни , то .