§131. Закон Стефана Больцмана. Закон Віна. Формула Релея-Джінса

Після встановлення закону Кірхго­фа стало очевидним, що першочергове зав­дання теорії теплового випромінювання полягає у визначенні вигляду функції Кірхгофа е*_{у Т}. Однак спочатку було знай­дено залежність інтегральної випроміню­вальної здатності Е_т абсолютно чорного тіла від його температури.

У 4884 р. Л. Больцмдн, застосував­ши термодинамічний метод для дослі­дження рівноважного теплового випромі­нювання всередині замкненої порожнини, теоретично показав, що:

інтегральна випромінювальна здат­ність абсолютно чорного тіла пропорцій­на до четвертого степеня його абсолют­ної температури.

Цей закон називають законом Сте- фана-Больцмана, бо Д. Стефан на основі експериментальних даних дійшов аналогі­чного висновку. Але Д. Стефан помилково вважав, що інтегральна випромінювальна здатність будь-якого тіла пропорційна до четвертого степеня його абсолютної тем­ператури.

Коефіцієнт пропорційності <т нази­вають сталою Стефана-Больцмана. Внаслі­док численних експериментів знайдено,

що а = 5,67• 10Г⁸ -— **-■■.

м К

Енергія, яка випромінюється за час / абсолютно чорним тілом з поверхні 5 при температурі Т, дорівнює:

| (^Е = отЧіГ^)

Якщо ж температура тіла змінюєть­ся з часом, тобт о(Г = тШт

Е= ^(гТ⁴(і)8(іі.

де 5 - пло\ приведений

де

с„ = <т-10* =5,67-

Якщо абсолютно чорне тіло оточене середовищем з температурою Т₀, то воно буде поглинати енергію, що випроміню­ється самим середовищем. В цьому випад­ку різниця між випускаючим і поглинаю­чим випромінюванням приблизно виража­ється 0

До реальних тіл закон Стефана- Больцмана не застосовний, оскільки спо­стереження показують більш складну за­лежність Е_т від температури, а також від форми тіла і стану його поверхні.

Закон Стефана-Боцмана визначає кіль­кість енергії, яка випромінюється тілом у всіх напрямках. Й. Ламберт встановив, що максима­льне випромінювання ^ спостерігається в на­прямку нормалі до поверхні. Кількість енергії яка випромінюється під кутом (р до норма­лі, пропорційна косинуса кута ч>\

КурКг,⁰⁰⁵?'

Для тезйнічних розрахунків закон Сте- фана-Больцмана^апнсують у вигляді:

• випромінювальна здат­

ність (коефіцісу'г теплового випромінювання) абсолютно

Для ^еального\ тіла закон Стефана- Больцмана

І Щш

,№] Чіоо; де с - коефіцієнт тепловог^ випромінювання сірого тіла, _ Ет .

^Є= Е_т

Відносний коефіцієнт теплового випро­мінювання є змінюється для різних тіл від нуля До одиниці залежно від матеріалу стану поверх­ні, температури.

При теплообміні випромінюванням двох з різною температурою поверхонь, які розміщені паралельно, кількость теплоти, що сприймаєть­ся поверхнею з меншою температурою, викори­стовуючи закон Стефана-Больцмана, пропор­ційна різниці четвертих степеней абсолютних температур кожної поверхні:

(Теплообмінної поверхні, а шостій коефіцієнт теплово­

зи

го випромінюваная Системи тіл і

X \ ¹

/ є... =\

Прилади для вимірювання температури, які ґрунтуються на використанні енергії випро­мінювання нагрітих тіл, називають пірометрами.

Принцип дії квазіцюнохроматичних пі­рометрів грунтується на порівнянні яскравості монохроматичного випромінювання двох тіл: еталонного і тіла, температура якого вимірю­ється. Як еталонне тіло, переважно використо­вують нитку лампи розжарення, яскравість якої можна регулювати. У приладі яскравість дос­ліджуваного тіла порівнюється з яскравістю ни­тки фотометричної лампи, яка вмонтована у телескоп, що має об'єктив і окуляр.

Під час вимірювання температури телес­коп скеровують на досліджуване тіло і домага­ються чіткого зображення тіла і нитки розжа­рення лампи в одній площині. Потім, змінюючи яскравість нитки зміною струму через неї (або змінюючи яскравість зображення тіла за допо­могою пересувного оптичного клина), домага­ються однакової яскравості зображень нитки і досліджуваного об'єкта. Якщо яскравість тіла більша від яскравості нитки, то нитку видно як чорну лінію на яскравому фоні. У протилежному випадку видно свічення нитки на бліднішому фоні. За рівності яскравостей нитку не видно, тому такі пірометри деколи називають піромет­рами із зникаючою ниткою. Напруга розжарен­ня нитки лампи характеризує температуру на­грітого тіла. Щоб інтенсивності випромінюван­ня порівнювали у вузькому проміжку спектра, використовують світлофільтр.

У будівництві пірометри використову­ють для контролю температури нагрівання кін­ців арматурних стержнів на верстатах для вида­влювання анкерних головок. Кінець стержня нагрівають електричним струмом до темпера­тури 1000... 1100 °С на проміжку, який дорівнює п'яти діаметрам арматури.

Променистий теплообмін між двома плоскопаралельними поверхнями, розміри яких набагато більші відстані між ними, представляє інтерес з точки зору пожежної безпеки, оскільки теплообмін між сильно нагрітими поверхнями різного роду нагрівальних пристроїв і близько- розміщеними до них плоскими поверхнями го­рючих конструкцій або матеріалів може вини- кати їх загоряння.

Розподіл енергії у спектрі випромі­нювання абсолютно чорного тіла вивчив експериментально ВЛенглей у 1866 р. В ролі абсолютно чорного тіла було викорис-

нювальної здатності абсолютно чорного тіла частоти і температури. Було

встановлено, що величина прямо

пропорційна до кубу частоти і є функцією

відношення Ч[, тобто

тано порожнину з малим отвором, а також чорну сажу.

Рис. 277

- функція відношення частоти

у²Т

а в

Із закону Віна можна знайти залеж­ність від температури частоти У_т, яка від­повідає максимальному значенню випро­мінювальної здатності Гу _Т абсолютно чор­ного тіла: . —

х

У

д

Експерименти показали, що залеж-

(М ГГ1. .

ність іе_{у Т} Івід частоти у при різних темпе­ратурах Т абсолютно чорного тіла має виг­ляд, зображений на рис. 277. В.Він встано-

Є

вив, що при малих частотах

області великих частот залежність е_{у Т} від частот має вигляд

/ф сталий"коефіцієнтні/?/ ]= К •

Енергія випромінювання абсолютно чорного тіла розподілена у його спектрі нерівномірно: абсолютно чорне тіло майже не випромінює енергії в області дуже ма­лих і дуже великих частот. З підвищенням

температури тіла максимум зміщу­ється в область великих частот.

Площа, яка обмежена кривою за­лежності ^^ві,^С)гвіссю абсцис, пропо­рційна до інтегральної випромінювальної здатностіі£г)абсолютно чорного тіла. То­му за законом Стефана-Больцмана вона

зростає пропорційно до Ш:

Використовуючи закони термоди­наміки і електродинаміки, В.Він у 1893 р. встановив характер залежності випромі- випромінювання абсолютно чорного тіла до його температури.

Віну не вдалося теоретично встано­вити вигляд функції I/^-^-^Проте закон

Віна дав змогу досягнути ряд важливих результатів.

Отримаємо закон Стефана-Больцма-

на:

Ш •

При V = у_т частинна похідна

/І*

IV \Т) т \т

Ні=4-/(т^]=тт/ітУ⁵=ь₂т¹,

де

має дорівнювати нулю:

^ стала величина, яка є коренем рів­няння і залежить від вигляду функції

Рівняння ^ =^_уг"|виражає^якон

зміщення Віна:

частота, яка відповідає максималь­ному значенню випромінювальної здатнос-

абсолютно чорного тіла, прямо

пропорційна до його абсолютної темпе­ратури.

Закон зміщення Віна можна сфор­мулювати в дещо іншій формі: довжина хвилі Л_т, яка відповідає максимальному значенню випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла, обернено пропорційна до його температури:

де^у- стала 2,898 • 10~ Км.

Із закону Віна видно, що при зни­женні температури абсолютно чорного ті­ла максимум енергії його випромінювання зміщується в область великих довжин хвиль. Отже, стає зрозуміло, чому при зниженні температури світних тіл в їх спе­ктрі все більше переважає довгохвильове випромінювання.

Значення максимуму випроміню­вальної здатності [^г\бсолютно чорного

тіла пропорційне до п’ятого степеня його абсолютної температури:

Наступна спроба теоретичного ви-

• * . у

ведення залежності ву? належить англій­ським вченим Д.Релею і Д.Джінсу, які за­стосували до теплового випромінювання методи статистичної фізики, використав­ши класичний закон розподілу енергії за ступенями вільності.

Формула Релея-Джінса для випро­мінювальної здатності абсолютно чорного тіла має вигляду

де[ к)- стала Больцмана.

Цей вираз узгоджується з експери­ментальними даними лише в області малих частот і великих температур. Для великих частот формула виявилась явно неправиль­ною. Розбіжність між експериментальною кривою (суцільна лінія) і кривою, одержа­ною за допомо­гою формули Релея-Джінса (штрихова .ій- нія), видно' з рис. 278. Спро- . ба. отримати закон Стефана-Больцмана з формули Ре- лея-Джінса не дає позитивного результату. Інтегральна випромінювальна здатність абсолютно чорного тіла при. будь-якій те­мпературі перетворюється в нескінчен­ність; ' _

Водночас за законом Стефана-Боль- цмана Цей результат отримав

назву „ультрафіолетової катастрофи”.

Отже, в рамках класичної фізики не вдалося пояснити закони розподілу енергії в спектрі абсолютно чорного тіла.