2. Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)

Вопросы отыскания пределов функций уже рассматривались выше. В данном параграфе речь пойдет об очень важном и практически удобном способе отыскания пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций при помощи производных. Этот способ называют правилом Лопиталя, т.к. оно впервые было опубликовано именно в книге французского математика Гильома де Лопиталя, хотя само открытие этого правила принадлежит Иоганну Бернулли.

Раскрытие неопределенностей вида и

Теорема 6.5. (правило Лопиталя для неопределенности ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и в самой этой точке равны нулю, т.е. . Если в окрестности точки , тогда справедливо равенство

(6.9)

если предел в правой части этого равенства существует.

Доказательство: применим теорему Коши для функций и и отрезка , лежащего в окрестности точки . По этой теореме найдется такая точка , для которой выполнено равенство:

Но, по условию , тогда

Пусть , тогда величина также будет стремится к . Перейдем в последнем равенстве к пределу, получим:

Теорема доказана.

Следствие 1. Теорема верна и в том случае, когда . Действительно, положим , получим

Следствие 2. Теорема верна и в том случае, когда функции и не определены в точке , но существуют пределы и .

Пример 6.19. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить

Решение.

Замечание. При применении правила Лопиталя следует обратить внимание на то, что в правой части формулы (6.9) берется не производная отношения функции, а отношение производных двух функций.

Теорема 6.6. (правило Лопиталя для неопределенности ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки. Если в окрестности точки и , тогда справедливо равенство

(6.10)

если предел в правой части этого равенства существует.

Пример 6.21. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить

Решение.

В примере правило Лопиталя применено два раза.

Раскрытие неопределенностей вида , , , ,

1. При раскрытии неопределенности вида , следует сначала алгебраически преобразовать функцию, стоящую под знаком предела, для того чтобы получить неопределенности вида или , а затем применить правило Лопиталя.

Пример 6.22. Найти пределы а) б)

Решение.а) б)

2. При раскрытии неопределенности вида , , вначале логарифмируют функцию, стоящую под знаком предела, затем по правилу Лопиталя находят предел ее логарифма.

Пример 6.23. Найти предел

Решение. Имеет место неопределенность . Вычислим предел логарифма данной функции

Итак, получили или , т.е.

Правило Лопиталя удобное средство для нахождения пределов, однако не всегда решает поставленную задачу.

Пример 6.24. Найти предел .

Решение.

После применения правила Лопиталя, получили предел от функции, в котором числитель и знаменатель поменялись местами по сравнению с исходной функцией. Если правило Лопиталя применит еще раз, то можно опять вернуться к исходному пределу. Таким образом, для данного примера правило Лопиталя не позволило раскрыть неопределенность. Нетрудно понять, что такой предел можно найти без применения производных: