3. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого множества X. Тогда производная представляет собой функцию аргумента x. Эта функция также может иметь производную. Производная от (если она существует) называется производной второго порядка или второй производной от функции и обозначается одним из символов: Таким образом, по определению

Пример. Дана функция Найти

Решение.

Рассмотрим дифференциалы высших порядков.

Дифференциал функции является функцией от аргумента x. Рассмотрим дифференциал от дифференциала .

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала данной функции и обозначается символом Итак, Аналогично определяется дифференциал третьего порядка как Дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала го порядка этой функции и обозначается символом Итак, Подчеркнем, что определяя дифференциалы высших порядков, дифференциал независимой переменной все время рассматриваем как постоянную величину. Учитывая это, имеем:

Пример… Дана функция Найти

Решение. Согласно формуле имеем: Так как то получаем

Лекция 6.3. Приложение понятия производной

План

1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

2. Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя).

3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции.

В математическом анализе существует ряд теорем о дифференцируемых функциях, которые имеют большое теоретическое и прикладное значение. К таким теоремам относятся теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Все они названы по именам знаменитых французских математиков XVII-XIX веков.

1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма (теорема о нулях производной)	Геометрическая интерпретация теоремы Ферма
Если функция определена на интервале и принимает в некоторой точке этого интервала наибольшее (или наименьшее) значение и существует производная , тогда она равна нулю, т.е. .	Если функция в точке принимает наибольшее (или наименьшее) значение и дифференцируема в этой точке, то касательная к графику этой функции в точке с абсциссой параллельна оси Ox.

Доказательство. Рассмотрим окрестность точки , в которой определена функция. Предположим для определенности, что функция в точке принимает наибольшее значение. Тогда для всех выполняется неравенство , при этом

если , то (так как числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки), т.е. ;

если , то (так как числитель и знаменатель имеют разные знаки), т.е. .

По условию теоремы функция в точке имеет производную, т.е. существуют равные односторонние пределы:

.

Равенство возможно только в том случае, когда односторонние пределы равны нулю, но тогда равен нулю и общий предел, т.е. производная. Таким образом .

Если функция в точке принимает наименьшее значение, то доказательство проводится аналогично с заменой знаков неравенств на противоположные. Теорема доказана.

Теорема Роля (о корнях производной)	Геометрическая интерпретация теоремы Ролля
Пусть функция 1) непрерывна на ; 2) дифференцируема на ; 3) принимает равные значения на концах отрезка: Тогда существует хотя бы одна точка в которой производная функции равна нулю, т.е.	Если функция непрерывна на , дифференцируема на и принимает равные значения на концах отрезка, то найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику в точке с абсциссой , параллельна оси Ox.

Доказательство. Поскольку непрерывна на (по первому условию теоремы), то по теореме Вейерштрасса она принимает на этом отрезке свое наибольшее М и наименьшее m значение. Рассмотрим два возможных случая:

1. . Тогда функция на отрезке сохраняет постоянное значение. А производная постоянной функции равна нулю и, таким образом, для всех точек производная

2. . Поскольку по условию теоремы то по крайней мере одно из значений М или m функция принимает в некоторой точке . А согласно теореме Ферма Теорема доказана.

Теорема Коши ( об отношении приращений двух функций)

Пусть функции и 1) непрерывны на ; 2) дифференцируемы на , причем Тогда существует хотя бы одна точка , такая, то справедлива формула

Доказательство. Сначала отметим, что обе части формулы (6.7) имеют смысл, т.е. знаменатели дробей в обеих частях не равны нулю. В правой части по условию теоремы, т.к. . В левой части имеем: поскольку в противном случае получили бы , но по теореме Ролля существовала бы точка в которой , что противоречит условию теоремы Коши.

Рассмотрим на вспомогательную функцию

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля. Действительно,

непрерывна на , как разность непрерывных функции и .

дифференцируема на , т.к. имеет конечную производную, равную

принимает равные значения на концах отрезка:

Применяя теорему Ролля к функции , заключаем, что существует такая точка , что , т.е. откуда получаем или Теорема доказана.

Теорема Лагранжа ( о конечных приращениях)	Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа
Пусть функция : 1) непрерывна на ; 2) дифференцируема на . Тогда существует хотя бы одна точка , такая, то справедлива формула	Если функция непрерывна на , дифференцируема на , то на графике функции найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику в точке с абсциссой , параллельна хорде АВ.

Доказательство. Рассмотрим на вспомогательную функцию

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля. Действительно,

1) непрерывна на , как линейная комбинация непрерывной функции .

2) дифференцируема на , т.к. имеет конечную производную, равную

3) принимает равные значения на концах отрезка:

Применяя теорему Ролля к функции , заключаем, что существует такая точка , что , т.е. откуда получаем Теорема доказана.

Иногда равенство Лагранжа записывают в виде

где .

Замечание 1. Теорема Лагранжа имеет важный физический смысл: существует хотя бы одна точка внутри отрезка такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на всем отрезке.

Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши называют теоремами о средних значениях.