2. Основные правила и формулы дифференцирования

Таблица производных основных элементарных функций

Таблица производных простых функций y=f(x)
Степенные функции	Показательные и логарифмические функции	Тригонометрические функции	Обратные тригонометрические функции

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного дифференцируемых функций

Пусть функции аргумента x.

Теорема… Если в точке существуют производные функций то в этой токе

1) существует производная суммы при этом

2) существует производная разности при этом

3) существует производная произведения при этом

В частности, если const, то

4) при существует производная частного при этом

Доказательство 1). Пусть Дадим аргументу в точке приращение В результате этого функции и получат приращения соответственно и А следовательно, производная функция в точке будет вычисляться

Теорема доказана.

Кратко правила дифференцирования можно сформулировать так:

Правило 1. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

Замечание. Правило 1 распространяется на случай суммы любого конечного числа функций.

Правило 2. Производная разности двух дифференцируемых функций равна разности производных этих функций.

Правило 3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй сомножитель и первого сомножителя на производную второго сомножителя.

Правило 4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Правило 5. Производная дроби двух дифференцируемых функций равна произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя и полученную разность разделить на квадрат знаменателя.

Пример…Найти производную функции

Решение. Используя правило 1 и табличные формулы (9) и (11), получаем

Пример. Найти производную функции

Решение. Используя правило 3 и табличные формулы (3) и (6), получаем

Пример.. Найти производную функции

Решение. Прежде всего, используем правило 4. Получаем:

Затем применяем правила 1, 2 и 3 и табличные формулы (3), (1), (2), получаем:

Правило дифференцирования обратной функции

Теорема…. Если функция определена, непрерывна, строго монотонна в некоторой окрестности точки и в этой точке имеет производную то обратная к ней функция имеет производную в точке , при этом или

Кратко правило дифференцирования обратной функции можно сформулировать так:

Правило 6. Производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции.

Покажем на примере функции правило дифференцирования обратной функции. Рассмотрим функция на интервале . Она является обратной для функции где На интервале имеем: Согласно правилу дифференцирования обратной функции, получаем:

Таким образом:

Правило дифференцирования сложной функции

Теорема … Пусть сложная функция в окрестности точки x. Если функция имеет производную в точке x, а функция имеет производную в точке u, то сложная функция имеет производную в точке x, причем

Замечание. Используя другое обозначение производной, формулу можно записать так:

Кратко правило дифференцирования сложной функции:

Правило 7. Если , а , то производная сложной функции по независимой переменной x равна произведению производной функции y по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной x.

Пример. .. Найти производную функции

Решение. Функцию можно представить как где и По таблице производных Следовательно, по правилу дифференцирования сложной функции имеем:

Пример.. Найти производную функции

Решение. Для сокращения письма мы больше не будем явно вводить вспомогательную функцию четко понимая при этом какое выражение играет её роль.

Если сложная функция составлена из трех функций и причем дифференцируемых в точках и соответственно, то или

Пример.. Найти производную функции .

Решение. По формуле получим

Таблица производных сложных функций

Таблица производных сложных функций y=f(u(x))
Степенные функции	Показательные и логарифмические функции	Тригонометрические функции	Обратные тригонометрические функции

Замечание. Для отыскания производных некоторых функций можно воспользоваться методом логарифмического дифференцирования. Коротко суть его состоит в том, что заданную функцию, прежде всего, логарифмируют, после чего приравнивают результаты дифференцирования обеих частей полученного равенства и выражают искомую функцию.

Пример. Найти производную функции

Решение. Логарифмируя данную функцию, получаем равенство

Дифференцируем обе части равенства по

Следовательно,

Лекция 6.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях

План:

1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл

2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

3. Производные и дифференциалы высших порядков

Одним из самых важных понятий дифференциального исчисления наряду с понятием производной, является понятие дифференциала функции. Эти два понятия разные, хотя и тесно связаны друг с другом. Понятие дифференциала первоначально появилось в работах Готфрида Лейбница (1646-1716).