Тема 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Лекция 6.1. Производная функции. Правила и формулы дифференцирования

План:

1. Задачи, приводящие к понятию производной

2. Понятие производной

3. Основные правила и формулы дифференцирования

Официальной датой рождения дифференциального исчисления следует считать май 1864, когда Лейбниц опубликовал первую статью Новый метод максимумов и минимумов, в сжатой и малодоступной форме излагавшую принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением, в основе которого лежит задача отыскания скорости изменения некоторой функции.

1. Задачи, приводящие к понятию производной

Многочисленные задачи: о скорости и ускорении неравномерного движения, о скорости химической реакции, о скорости роста популяции, о плотности неоднородного стержня, о силе переменного тока, о касательной к кривой приводят к вычислению пределов отношений определенного вида.

Задача о вычислении скорости движения материальной точки

Рассмотрим движение материальной точки по прямой, на которой заданы начало отсчета – точка О, положительное направление и единичный отрезок. Зависимость расстояния S от времени t выражается функцией которую называют законом движения точки. Поставим задачу о вычислении скорости движения точки в момент времени Для ее решения рассмотрим движение точки в течение промежутка времени от до времени где и Так как в момент времени и точка находилась на расстоянии и соответственно, то путь, пройденный точкой за промежуток времени равен Поделив на получаем среднюю скорость движения точки за промежуток времени , то есть

Полагая, что чем меньше промежуток времени тем средняя скорость более точно характеризует особенности движения точки в момент времени и естественно считать, что скорость движения точки в момент времени (мгновенная или истинная скорость) есть предел, к которому стремиться средняя скорость за промежуток времени Итак,

Задача о плотности неоднородного стержня

Рассмотрим неоднородный стержень, длина которого равна Один из его концов примем за начало отсчета Зависимость массы части стержня от длины этой части выражается функцией Поставим задачу об определении плотности стержня в точке Для ее решения рассмотрим участок стержня, заключенный между и где и Масса этого участка равна Поделив на получаем среднюю линейную плотность на участке , то есть

Исходя из того, что чем меньше тем ближе средняя линейная плотность к линейной плотности стержня в данной точке и естественно считать, что линейная плотность есть предел, к которому стремиться средняя плотность при Итак

Задача о касательной к кривой

Р ассмотрим график функции . Пусть какая-либо точка графика. Придадим аргументу приращение Соответствующую точку на графике обозначим через Через точки и проведем прямую и назовем ее секущей. Если точка устремится по графику к точке то положение секущей будет изменяться (рис. 27). Её предельное положение называют касательной к кривой в точке

Рис. 27

Как видно из рисунка, угловой коэффициент секущей равен

Если устремить приращение аргумента к нулю, то угловой коэффициент секущей будет стремиться к угловому коэффициенту касательной

Сопоставляя операции, которые проводились при решении четырех вышерассмотренных задач, легко видеть, что во всех случаях делалось одно и то же (различия только в истолковании переменных); а именно, приращение функции делилось на приращение аргумента, а затем вычислялся предел этого отношения, при условии приращения аргумента стремящегося к нулю. Это предел и называется производной, являясь основным понятием дифференциального исчисления.