4. Качество работы систем

Общие понятия

Качество представляет собой комплексную оценку работы системы управления, включающую устойчивость, точность, быстродействие и зависящую от назначения системы.

Устойчивость системы обеспечивает затухание переходных процессов с течением времени, т.е. обеспечивает принципиальную возможность прихода системы в некоторое установившееся состояние при любом внешнем воздействии. Однако далее требуется, во-первых, чтобы это установившееся состояние было достаточно близко к заданному и, во-вторых, чтобы затухание переходного процесса было достаточно быстрым, а отклонения при этом были бы невелики.

Качество работы любой системы управления в конечном счете определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым и действительным значениями управляемой величины: x(t)=g(t)y(t).

Рис. 6.1. Временная диаграмма изменения ошибки

Характер процесса изменения ошибки, представленного на рис.6.1, позволяет сделать вывод об устойчивости системы, так как процесс сходится, оценить точность работы системы по величине установившейся ошибки _уст  x() и оценить быстродействие системы по времени регулирования t_р, то есть времени, за которое ошибка системы достигает допустимое значение и при дальнейшем росте времени не превышает его.

Однако ошибка системы зависит не только от характеристик самой системы, но и от свойств, действующих на нее воздействий. Вследствие случайности задающего g(t) и возмущающего f(t) воздействий такой подход не может быть реализован. Поэтому приходится оценивать качество системы управления по некоторым ее свойствам, проявляющимся при различных типовых воздействиях. Для определения качественных показателей системы управления в этом случае используются так называемые критерии качества.

В настоящее время разработано большое число различных критериев качества, с помощью которых оценивается либо точность системы в установившемся состоянии, либо качество переходного процесса.

Точность системы задается и определяется в установившихся режимах величиной установившейся ошибки. Для анализа качества переходного процесса существует три основных вида приближенных оценок: частотные, корневые, интегральные.

Показатели качества переходного процесса

На переходные процессы в системах управления накладываются определенные ограничения, связанные с особенностями их работы.

Рассмотрим основные показатели качества систем управления, пользуясь характеристикой переходного процесса отработки единичного задающего воздействия g(t)=1(t), показанной на рис.6.2.

Рис. 6.2. Характеристики переходного процесса при типовом единичном воздействии

Для оценки качества работы системы введены следующие показатели.

1. Перерегулирование, равное отношению максимального значения управляемой величины в переходном процессе к установившемуся значению:

Перерегулирование характеризует склонность системы к колебаниям, то есть близость системы к колебательной границе устойчивости. В конечном итоге характеризует запасы устойчивости. Считается, что запас устойчивости достаточен, если  лежит в пределах от 10 до 30%.

2. Время регулирования (протекания переходного процесса) t_р. Позволяет оценить быстродействие системы управления.

Учитывая, что полное затухание в системе происходит лишь при t, длительность переходного процесса ограничивают тем моментом времени, когда

где  - допустимое значение установившейся ошибки, обычно составляющее 5 от y().

4. Число колебаний управляемой величины y(t) за время регулирования t_р. Это число составляет обычно 23.

5. Собственная частота колебаний системы ₀ = 2/T₀, где T₀ - период собственных колебаний системы.

6. Логарифмический декремент затухания системы d_С, характеризующий быстроту затухания колебательного процесса

,

Установившиеся ошибки

Одно из основных требований, которым должна удовлетворять система управления, заключается в обеспечении необходимой точности воспроизведения задающего воздействия в установившемся режиме. Для оценки точности системы определяется установившаяся ошибка, которая может быть получена с помощью теоремы операционного исчисления о конечном значении функции:

где x_g(∞) - установившаяся ошибка от задающего воздействия;

x_f(∞) - установившаяся ошибка от возмущающего воздействия.

Если задающее воздействие g(t) имеет произвольный характер, то ошибка системы может быть найдена с помощью коэффициентов ошибок.

Изображение ошибки по задающему воздействию имеет вид

X_g(s)= Ф_xg(s)G(s),

где Ф_xg(s) - передаточная функция замкнутой системы по ошибке относительно задающего воздействия.

Для получения коэффициентов ошибок передаточная функция Ф_xg(s) раскладывается в степенной ряд

Ф_xg(s) = c₀ + c₁s + c₂s² + c₃s³ + ... ,

сходящийся при малых s, что соответствует установившемуся режиму или достаточно большим значениям времени t.

Коэффициенты c_i этого ряда называются коэффициентами ошибок и определяются из выражения

при i = 0, 1, 2, 3, ...

Коэффициенты c₀, c₁ и c₂ называются соответственно коэффициентами позиционной ошибки, скоростной ошибки и ошибки от ускорения.

Выражение для изображение ошибки по задающему воздействию примет вид

X_g(s) = (c₀+ c₁s+ c₂s²+ c₃s³+...)G(s).

Перейдя к оригиналу, выразим установившуюся ошибку через коэффициенты ошибок, задающее воздействие и его производные:

Аналогично можно ввести понятие коэффициентов ошибок по возмущающему воздействию.

5. Описание систем в пространстве состояний

Современная ТУ базируется на описании систем в ПС. Описание в ПС представляет собой общий взгляд на любую систему.

Этот метод появляется в начале 70-х. Описание в ПС базируется на использовании методов матричного исчисления и векторного анализа. Преимущество в том, что нет разницы при описании одномерных и многомерных систем.

Любую систему можно однозначно определить не только ее выходной величиной, но и некоторыми промежуточными переменными, число которых должно равняться порядку системы, т.е. порядку дифф. уравнению которым описывается система.

U_i – задающее и возмущающее воздействия

x_i – промежуточные координаты (координаты состояния системы)

y_i – управляемые величины

Понятие состояния системы является определяющим в современной ТУ. Состояние системы представляет собой минимально необходимый набор переменных системы, который однозначно характеризует систему в любой момент времени. Совокупность переменных (x_i)состояния образует вектор состояния (X). Таким образом при функционировании системы вектор состояния меняет свое положение в пространстве, которое называется пространством состояния.

Координатами этого пространства являются переменные состояния системы. В таком описании отсутствует физический смысл системы (т.к. это формальное описание).

В этом случае любая система описывается следующими уравнениями:

где: Х – вектор состояния; U – вектор внешнего воздействия; A,B,C,D – матрицы системы

Первое дифф. матричное уравнение (характеризует динамику системы) представляет собой систему из n дифф. уравнений записанных в форме Коши:

Второе - это матрично-алгебраическое уравнение, оно показывает каким образом определяется управляющая величина и представляет собой совокупность n скалярных уравнений.

А – квадратная матрица [n*n], где n – порядок системы;

Называется матрица системы, она характеризует поведение системы в свободном состоянии.

В – матрица чувствительности системы к внешним воздействиям.

С – матрица связи выходных величин с состоянием системы

D – матрица связи выходных величин системы с внешним воздействием

Стандартная форма записи позволяет однозначно определить выходные величины системы по известному внешнему воздействию U и начальному X(t₀)состоянию системы.

Общий вид уравнения описывается скалярной системой. Для того чтобы перейти к описанию в ПС необходимо дифф. уравнение n–го порядка переписать в форме Коши, т.е. представить в виде системы n дифф. уравнений первого порядка. Тогда матрицы примут вид:

Стандартная форма описания в ПС:

Решение для этой системы примет вид:

Свойства (характеристики) систем в ПС:

1. Устойчивость

Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность вещественных частей собственных чисел матрицы А, т.е. Re(_i)<0, i = 1…n

где _{i -} корни характеристического уравнения AE= 0;

2. Наблюдаемость

Система называется наблюдаемой если по наблюдениям за выходными величинами системы в течение конечного времени Т можно определить ее начальное состояние Х₀.

Необходимым и достаточным условием наблюдаемости системы является невыраженность матрицы наблюдаемости системы L, т.е.

Det (L)<0,

L=[C^T(CA)^T….(CA^n-1)^T]

3. Идентифицируемость

4. Управляемость

Система называется управляемой если существует управляющее воздействие U(t), которое за конечное временя Т может перевести системе в любое состояние из пространства состояния.

Необходимым и достаточным условием управляемости системы является невыраженность матрицы управляемости системы К, т.е. Det (У)<0,

К=[В AВ ….A^n-1В]

5. Адаптируемость

Идентифицируемость и адаптируемость вытекают из наблюдаемости и управляемости, поэтому ограничиваются тремя свойствами.

Также существует нормальная форма записи в ПС. Она получается из стандартной формы путем использования преобразования подобия:

Вводят замену: Х=Мq , где q – вектор фиктивных состояний, М – модальная матрица матрицы А (это матрица столбцами которой являются характеристические вектора матрицы А).

Характеристический вектор это вектор соответствующий характеристическому или собственному числу.

Тогда система примет вид:

Произведение М^-1АМ=Л

Тогда получится нормальная форма:

где Л = М^-1АМ В_n = М^-1В С_n = СМ D_n = D

Ее преимущества в том, что нормальная форма позволяет разложить многосвязную систему n-го порядка на n несвязанных между собой уравнений:

где q_i – внешнее воздействие на данную координату.

Таким образом переход к нормальной форме существенно упрощает исследование многосвязной системы, т.к. вместо нее можно исследовать не взаимосвязанные системы.