Билет 12

Определение 1. Законом распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют множество возможных пар чисел (xi, yj) и их вероятностей p(xi, yj). Двумерную случайную величину можно трактовать как случайную точку А(Х, Y) на координатной плоскости.

Закон распределения двумерной случайной величины обычно задается в виде таблицы, в строках которой указаны возможные значения xi случайной величины X, а в столбцах — возможные значения yj случайной величины Y, на пересечениях строк и столбцов указаны соответствующие вероятности pij. Пусть случайная величина Х может принимать п значений, а случайная величина Y - т значений. Тогда закон распределения двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид

Из этой таблицы можно найти законы распределения каждой из случайных компонент. Например, вероятность того, что случайная величина Х примет значение хk, равна, согласно теореме сложения вероятностей независимых событий,

Свойства двумерной функции распределения

1.  .

2.  ,  .

3.  .

4.  ;

. (2)

5.   неубывающая функция по каждому из своих аргументов при фиксированном другом аргументе.

Формулы (2) означают, что из функции распределения двумерной случайной величины можно получить функции распределения ее одномерных компонент.

Двумерная случайная величина   называется дискретной, если множество ее значений   – конечное или счетное.

Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины   можно задать формулой

. (3)

Билет 14

Две  величины называются коррелированными, если их корреляционный момент не равен нулю.

Две  коррелированные случайные величины являются также и зависимыми.

Действительно, ес­ли исходить от обратного , то дифференциальная функция такой системы  f(x,y) = f2(y)·f1(x)  , но тогда корреляционный момент Kxy равен произведению интегралов по составляющими,  каждый из них тождественно равен нулю. Обратное утверждение - две некоррелированные величины независимы - не всегда имеет место.

Две зависимые величины могут быть как коррелированными , так и не коррелированными.

Действительно, из условия   еще не следует, что значение двойного интеграла будет равным нулю, и все зави­сит от вида дифференциальной функции системы   . Достаточно показать это на конкретных примерах.

Билет 15

Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называют сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

Такого рода задачи решает и математическая статистика: 

1) систематизировать полученный статистический материал; 

2) на основании полученных экспериментальных данных оценить интересующие нас числовые характеристики наблюдаемой случайной величины; 

3) определить число опытов, достаточное для получения достоверных результатов при минимальных ошибках измерения. 

Одной из задач третьего типа является задача проверки правдоподобия гипотез. Она может быть сформулирована следующим образом: имеется совокупность опытных данных, относящихся к одной или нескольким случайным величинам. Необходимо определить, противоречат ли эти данные той или иной гипотезе, например, гипотезе о том, что исследуемая случайная величина распределена по определенному закону, или две случайные величины некоррелированы (т.е. не связаны между собой) и т.д. В результате проверки правдоподобия гипотезы она либо отбрасывается, как противоречащая опытным данным, либо принимается, как приемлемая.

Таким образом, математическая статистика помогает экспериментатору лучше разобраться в полученных опытных данных, оценить, значимы или нет определенные наблюденные факты, принять или отбросить те или иные гипотезы о природе рассматриваемого явления.