14. Основні теореми про диференційовані функції однієї змінної (Ферма, Ролля та Лагранжа).

Т. Ферма. Нехай f задана на проміжку (a, b) і в деякій внутрішній точці с приймає максимум або мінімум. Якщо f має похідну в точці с, то в цій точці похідна рівна 0.

◄ точка х=с є точкою максимуму , тоді  х(a,b) : f(x)  f(c). Надамо приросту х0: с+х(a, b) , тоді  f(c)= f(c+х)– f(c)<0

1.  f(c)/x 0, якщо х<0

2.  f(c)/x<0, якщо х 0

тоді при x0  1)  f(c)/x f’(c) 0,

2)  f(c)/x f’(c)  0  f’(c)=0.

Для випадку, коли x=с є точкою мінімуму, твердження доводиться аналогічно. ►

Т. Ролля. Нехай 1) f неперервна на [a, b]; 2) f диференційовна на (a, b); 3) f(a)= f(b). Тоді   (a, b): f’( )=0.

◄ За 2-ою теоремою Вейєрштрасса f досягає на [a, b] точних верхніх (М^*) і нижніх (m^*) меж. Очевидно, що виконується нерівність: m^* f (х)М^* хє[a, b].

Якщо m^* =М^*  f (х)= m^* х є[a, b]  f ‘(х)=0,

х є(a, b). Якщо m^*<М^* з 3)  що f має локальний екстремуму у внутрішній точці  (a, b): за теоремою Ферма f’( )=0. ►

Т. Лагранжа. Нехай 1) f неперервна на [a, b], тоді

  (a, b): f(b)–f(a)=f’( )(b-a).

◄Розглянемо допоміжну функцію F(x)=f(x)-f(a)–(f(b)-f(a)/(b-a))*(x-a). Очевидно, F(x) що неперервна на [a, b]; F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a)/(b-a)).

F(a)=f(a)-f(a)–(f(b)-f(a)/(b-a))*(a-a)=0;

F(b)=f(b)-f(a)–(f(b)-f(a)/(b-a))*(b-a)=0. Тоді за теоремою Ролля   (a, b): F’()=f’()-(f(b)-f(a)/(b-a))=0  f(b)–f(a)=f’( )(b-a). ►

15. Формула Тейлора для функції однієї змінної із залишковим членом у формі Лагранжа.

Нехай функція f має в деякому околі точки х₀ похідну до порядку (п+1), тоді функцію f(х) можна розкласти у ряд Тейлора:

Якщо g(x) диферент. на проміжку Х і її похідна ніде не перетворюється в нуль на Х, то х єX:

◄Розглянемо функцію

тобто

За теоремою Коші для F та g, fє[x₀, x]   (x₀, x):

Якщо підставити, то отримаємо, що F(х)=0; F(х₀)=R_n+1(x), тоді

►

Якщо в якості функції g(t) взяти (x-t)ⁿ⁺¹, то отримаємо залишковий член у формі Лагранжа:

g(t) =(x-t)ⁿ⁺¹, g’(t)=-(n+1)(x-t)ⁿ, =x₀+(x- x₀), 0<<1:

16. Локальний екстремум функцій однієї змінної: необхідні та достатні умови.

Якщо f(x)<f(x₀), xєU⁰_б(x₀), то x₀ – т. строгого max.

Якщо f(x)>f(x₀), xєU⁰_б(x₀), то x₀ – т. строгого min.

Теорема (необхідні умови extr). Якщо x₀єX т. extr функції f і ця функція диференційовна в т. x₀, то її похідна в т. x₀ =0.

із т-ми Ферма. Якщо розглянути окіл U_б(x₀), то в цьому околі виконується нерівність: f(x) f(x₀), xєU_б(x₀). Отже, в околі U_б(x₀) функція f досягає або найбільшого або найменшого значення і тому що за умов f- диференційовна в т. x₀, то за теоремою Ферма => f '(x₀)=0

Теорема (достатні умови extr). Нехай функція f:V(x₀) R- диференційовна в V⁰_б(x₀) і неперервна в точці x₀, яка є критичною. Якщо 1) f (x)>0 при x₀-б<x< x₀ і f '(x)<0 при x₀<x< x₀+б, то в т. x₀ функція має локальний max; 2) f '(x)<0 при x₀-б<x< x₀ і f '(x)>0 при x₀<x< x₀+б => в т. x₀ функція f має локальний min; 3) в іншому випадку функція f немає extr в точці x₀.

1) a) xє(x₀-б,x₀), f

t

x₀-б x x₀

x<t<x₀ => f(x)<f(t). Заставимо t x₀-0, то ця нерівність збережеться в границі f(x)< , тобто f(x)<f(x₀).

2) f , <x

x

x₀ x₀+б

f( )>f(x). Перейдемо до границі при x₀+0

; .

Отже, f(x)>f(x₀) в xє V⁰_б(x₀) => f(x)<f(x₀), тому точка x₀ – точка локального max.

3) Нехай і лівіше і правіше функція має один і той же знак. Припустимо, що f '(x)>0 на V⁰_б(x) => f на обох частинах V⁰_б(x).

x<x₀, f(x)< f(x₀).

x>x₀, f(x)> f(x₀).

max : f(x)< f(x₀).

min : f(x)> f(x₀).

Отже, extr відсутній

Теорема (достатні умови extr). Нехай x₀ – стаціонарна точка функції f => f '(x)=0 i f має в W(x₀)- окіл похідну другого порядку, яка є неперервною в точці x₀, тоді:

1) Якщо f ''(x₀)>0, то x₀ – точка локального min.

2) Якщо f ''(x₀)<0, то x₀ – точка локального max.

Використовуємо формулу Тейлора із залишковим членом у формі Пеано для n=2:

- н/м при

І. Нехай

, в деякому околі точки x₀

в цьому випадку

=> f(x)-f(x₀) 0,тобто x₀ – min

II. Нехай ; в околі точки x₀ => ; =>

f(x)-f(x₀) 0 => точка x₀ – min.

Теорема (достатні умови extr). Нехай f задано в околі W точки x₀ і має там похідні до n-го порядку, причому f '(x₀)=f ''(x₀)=…=f^(n-1)(x₀)=0, a f⁽ⁿ⁾- неперервна в точці x₀. Якщо n- парне число, то при умові f⁽ⁿ⁾(x₀)>0 точкаx₀ – min; Якщо f⁽ⁿ⁾(x₀)<0 точкаx₀ – max. Якщо n-непарне число, то в т. x₀ функція немає extr.

Використовуючи формулу Тейлора із залишковим членом Пеано: ,

де - н/м при

n – парне => в б-я околі т. x₀, а => f⁽ⁿ⁾(x₀)+h(x) має такий же знак як і f⁽ⁿ⁾(x₀). f⁽ⁿ⁾(x₀)>0, то т.x₀ – min.

f⁽ⁿ⁾(x₀)<0, то т.x₀ – max.

Якщо n-непарне, то (x-x₀)ⁿ змінює знак при переході через точку x₀, тому f(x)-f(x₀) змінює знак також, тоді extr в точці x₀ функція немає.