12.Теореми Вейєрштрасса про обмеженість неперервної на відрізку функції та про досягання нею точних верхньої і нижньої меж.

1 теорема Вейєрштрасса Якщо f С([a, b]), то вона обмежена на [a, b], тобто  {m, M}R : x[a, b] 

m f(x) M.

◄ Обмеженість зверху. Припустимо, що f(x) не є обмеженою зверху на [a, b], тоді  nєN  x_п[a, b]: f(x_п)>n (бо f(x) не є обмеженою)   [a, b]:

{f(x_п)} є нескінченно великою. За теоремою Больцано-Вейєрштрасса  збіжна підпослідовність

[a, b]: x_пkc (k); c[a, b]. В силу неперервності f : f(x_пk) f(c) (k). А це неможливо, бо {f(x_пk)} {f(x_п)} є нескінченно великою. Отримане протиріччя доводить обмеженість зверху.

Обмеженість знизу. Припустимо, що f(x) не є обмеженою знизу на [a, b], тоді  nєN  x_п[a, b]: f(x_п)<-n (бо f(x) не є обмеженою)   [a, b]: f(x_п) -. За теоремою Больцано-Вейєрштрасса  збіжна підпослідовність [a, b]: x_пkc (k); c[a, b]. В силу неперервності f : f(x_пk) f(c) (k). А це неможливо, бо f(x_пk)<-n_k  - (k)  f(x_пk) - (k). Отримане протиріччя доводить обмеженість знизу. ►

2 теорема Вейєрштрасса Якщо f С([a, b]), то вона досягає на цьому відрізку точних верхніх і нижніх меж, тобто

 {x₁,x₂}[a,b], f(x₁)=supf(x), f(x₂)=inff(x) [Позначимо: sup f(x)=М^*, inf f(x)=m^*]

◄ f(x₁)=supf(x). Припустимо, що f(x) не приймає в жодній точці x[a,b] значення М^*. Тоді x[a, b]

f(x)<М^*. Розглянемо на [a, b] додатню всюди функцію F(x)=1 / (М^* – f(x)). (М^* – f(x))0, x[a, b] F(x) неперервна на [a, b], за 1 т. Вейєрштрасса.  BєR: x[a, b] F(x)=1 / (М^* – f(x))B, тоді f(x)  М^* –1/B (бо М^* – f(x)>0) x[a, b], але це суперечить тому, що М^* є точною верхньою гранню функції f(x).

f(x₂)=inff(x). Припустимо, що f(x) не приймає в жодній точці x[a,b] значення m^*. Тоді x[a, b]

f(x)> m^*. Розглянемо на [a, b] додатню всюди функцію F(x)=1 / (f(x) – m^*). (–m^* + f(x))0, x[a, b] F(x) неперервна на [a, b], за 1 т. Вейєрштрасса  єR: x[a, b] F(x)=1 / (f(x) – m^*), тоді f(x) m^*+ 1/ x[a, b], але це суперечить тому, що m^* є точною нижньою гранню функції f(x). Одержані суперечності доводять твердження теореми. ►

13. Похідна і диференціал функції однієї дійсної змінної: означення і геометричний зміст. Правила диференціювання. Важливі границі та похідні від основних елементарних функцій.

Нехай y=f(x), x(а, b). Зафіксуємо x(а, b) і надамо йому приріст x таке, щоб x + x(а, b). Розглянемо приріст функції y=f(x; x)=f(x+ x)– f(x).

Озн. Похідною функції f в точці x(а, b) називається границя

(при умові, що ця границя існує). Позначення: f’(x); y’(x); dy /dx; df(x)/dx.

Геометричний зміст похідної.

Г_f={(x, f(x)), x(а, b)}, M₀(x₀,f(x₀))Г_f , M(x₀+x,f(x₀+x)).

Пряма, що проходить через точку M₀Г_f і утворює кут ₀ з додатнім напрямом осі Ох називається дотичною до Г_f.

Дотична до Г_f в M₀(x₀,у₀): у-у₀=k(x-x₀), де k=tg₀, у₀=f(x₀)  y=f(x₀)+ tg₀(x- x₀), де tg(х)=АМ / М₀А, М₀А=х, АМ=f(x₀+x)-f(x₀)=f(x₀;x), тобто tg(х)=f(x₀) / x,  limtg(х)=f’(x₀)

(при x0 ). Якщо похідна , то  дотична у=f(x₀)+f ’(x₀)(x-x₀).

Озн. Функція y=f(x) називається диференційованою в точці х, якщо приріст у цієї функції в точці х, відповідає приросту аргументу х, може бути представлено у вигляді у=Ах+ +х, де А – деяке число, яке не залежить від х,  –функція від х є н.м при х0.

Головну частину приросту функції f називається диференціалом функції f в точці х і позначають df(x).

Геометричний зміст диференціала – це приріст ординати дотичної.

Правила диференціювання. Нехай y=f(x), y=g(x), x(а, b), f, g – диференційовані в т.x.

1. (fg)’(x)= f’(x)g’(x).

2. (f*g)’(x)= f ’(x)* g(x)+ f(x)* g’(x).

3. (f /g)’(x)=( f ’(x)* g(x)+ f(x)* g’(x)) / g²(x).

4. y=f(x), yY, : YR і (f(x))= ◦ f(x), тоді якщо f диференційовна в т. х₀, а  диференційовна в у₀ , тоді

( ◦ f)’(x₀)= ’( f(x₀))*f’(x₀).

5. f неперервна на [a, b] і строго зростає, а також диференційовна, тоді

(f ^–1(y))’=1 / f ’(x).

Виведення формул для похідних від елементарних функцій.

1)f(x)=с – число, хR

◄  f(x)=0, х=0 , хR  f’(x)=(c)’=0 ►

2) f(x)= x, хR

◄ х0, f(х)= х, f(х) / х=х / х=11 при х0 f’(x)=(x)’=1. ►

3) f(x)=sin x, хR

◄ х0, f(х)=sin(x+х)–sinx= 2sin(х/2)*cos(x+х/2).

f/x=sinх/2 /х/2 * cos(x+х/2) cosx при х0  (sinx)’=cosx. ►

4)f(x)=cosx , хR

◄ х0, f(х)=cos(x+х)–cosx=– 2sin(x+х/2)*sin(х/2).

f/x=sinх/2 /х/2 * sin(x+х/2)  –sinx при х0  (cox)’=–sinx. ►

5)f(x)=x^, R, x>0.

◄f/x=((x+х)^–x^)/х=x^-1*((1+х/x)^–1)/х/x  x^-1 при х0  f’(x)=( x^)’=x^-1►

6) f(x)=a^x , xR, a>0

◄f/x=(a^x+x– a^x)/х= a^x *( a^x–1)/ хa^xlna при х0  f’(x)=( a^x)’= a^xlna ►

7)f(x)=tgx, x/2+n, пє

◄f’(x)=(tgx)’=(sinx/cosx)’=(cosx*cosx-sinx*(-sinx))/cos²x=1/ cos²x ►

8) f(x)=ctgx, xn, пє

◄

9) f(y)=arcsiny, !y!<1

◄

бо cosx= cos(arcsiny)=(1-y²)^1/2 ►