5. Збіжний числовий ряд та його сума. Нескінченна геометрична прогресія. Необхідна умова збіжності числового ряду. Критерій Коші збіжності числового ряду.
Дано
послідовність
-
дійсні числа
(1) a1+a2+…+an+…
-
називається
нескінченним числовим рядом
S1=a1, S2=a1+a2, S3=a1+a2+a2, … Sn=a1+…+ an.
-
послідовність
частинних сум
a1,…, an – члени ряду; an - загальний член ряду.
Озн:
Якщо
скінчена
границя послідовних частинних сум,
тобто
,
то ряд (1) називається збіжним, в іншому
випадку ряд називається розбіжним,
тобто границя або не існує або нескінчена.
Якщо познач. S = , то S – сума ряду (1) і = S.
Необхідна умова збіжності:
Якщо ряд (1) збіг., то
I.
Його
загальний член
при
II.
an+1+…+
a2n
0
(
);
таку суму називають відрізком, а кількість
членів називають його довжиною.
III. Послідовність частинних сум - обмежена.
Геометрична прогресія:
b + bq + bq2 +…+ bqn-1 + …
Sn
= b
+ bq
+ bq2
+…+ bqn-1,
,
q
1.
Якщо q = 1: b + b + … + b + …
b
1
(розбіг.)
q = -1: b + (-b) + b + (-b) + … + (-1)n-1b
0,
n
– парне
=> не
існує lim
Sn
Sn= b, n – непарне (розбігається)
,
(
)
– спадна
прогресія
(збігається)
Ознака Коші:
Якщо
для
,
q,
0<q<1,
що
,
починаючи з номера (n>n0),
то ряд (А) – збіжний
,
то ряд (А) – розбіжний
використаємо
I означення порівняння
(n=1,2,…) із збіжності (В) => збіжність
(А); із розбіжності (А) => розбіжність
(В).
з
нерівності
<=>
,
n>n0.
(qn – загальний член збіжної геометричної прогресії)
З
цієї ум. =>
(А)
– збіжна
,
при
=>
an
– не
прямує до 0, отже, розбігається
Гранична форма:
Нехай
,
тоді
C<1, (A) – збіг.
C>1, (A) – розбіг.
C=1, (невизначено)
0<C<q<1,
,
.
8. Степеневі ряди та їх область збіжності. Формула Коші-Адамара.
Нехай
-
числова послід.
Степеневим рядом називається такий ряд
a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)2 +…+ an(x-x0)n +…(1)
або,
якщо x0=0:
a0
+ a1x
+ a2x2
+…+
anxn
+… =
(2)
члени
ряду (1) і (2) задані на числовій вісі,
тобто
Ряд (1) – збіг., коли x=x0,
Ряд (2) – збіг., коли x=0,
Розглянемо
додатню послідовність
,
Введемо в розгляд число:
0,
,
R
= 1/L,
,
,
L=0.
Формула Коші-Адамара: Якщо:
1)
R=0,
то ряд (2) – розбігається
2)
,
то ряд (2) – збігається абсолютно при
|x|<R
3) 0 < R < , то ряд (2) розбіг. при |x|>R.
R – називається радіусом збіжності степеневого ряду.
Теорема: Нехай r є (0,R): 0<r<R, тоді на відрізку [-r,r] степеневий ряд (2) збігається рівномірно.
9. Абсолютна та умовна збіжності числових рядів. Ознака Лейбніца збіжності знакозмінного ряду.
(1) a1+a2+…+an+… - довільний ряд
(2) |a1| + |a2| +…+ |an| +… - додатний ряд
Озн.: Якщо ряд (2) – збігається, то ряд (1) називається абсолютно збіжним.
Озн.: Ряд (1) називається умовно збіжним, якщо він збігається, а ряд (2) – розбігається.
C1 + (-C2) + C3 + (-C4) +…+ (-1)n-1Cn + …(*)
цей ряд називається знакозмінним.
Ознака Лейбніца.
Якщо
послідовність Cn
монотонно
прямує до нуля (
),
то ряд (*) збігається.