Математичний аналіз

2. Арифметичні дії над збіжними послідовностями.

Послідовність це функція, яка визначена на множині натуральних чисел, значеннями є дійсні числа. Записують: {x_n, nєN}або

(1).

Послідовність (1) називається обмеженою зверху (знизу), якщо  число М (m) таке, що всі члени !х_n!≤M (!х_n!≥m).

Число аєR називається границею послід.(1), якщо   n₀єN: n>n₀: !х_n-a!< . (2). Послідовність в цьому випадку називається збіжною.

Властивість обмеженості. збігається, то вона обмежена. ◄ обмежена!х_n!≤Н п=1,п  Н: Н≥! х_n!. Запишемо (2) при =1.  п₁єN, n> п₁ !х_n-a!<1, тоді за властивістю модуля !!х_n!-!a!! ≤!х_n-a!<1 при n>п₁+1,…тоді –1<!х_n!-!a!<1!х_n!-1+!a! при n>п₁+1,…Позначимо через Н–max{!х₁!,…,!х_n1!,!a!+1} тоді !х_n!≤Н п=1,2,...п і !a!+1≥H тоді !х_n!< 1+!a!≤Н п=1,2,...п ►

Властивість єдності границі. Границя збіжної послідовності єдина. ◄ Нехай  2 границі, тобто х_па₁(п), х_па₂(п) і а₁а₂, тоді !а₂ –а₁! 0. Нехай =1/2*!а₂ –а₁!. а₁: 1  n’єN: n>n’: !х_n-a₁!<1, 2 n’’єN: n>n’’: !х_n-a₂!<2. Позначимо через n0=max{n’,n’’}. Розглянемо околи V(a₁)  n’єN: х_nє V(a₁), n>n’

V(a₂)  n’’єN: х_nє V(a₂), n>n’’

 х_nєV(a₁)∩V(a₂)=0 ►

Розглянемо 2 послідовності , Нехай

х_па(п), у_пb(п), тоді

1)

2)

3)

3.Теорема про збіжність монотонної послідовності

1. Якщо послідовність зростає і обмежена зверху, то ця послідовність має скінчену границю (збіжною).

2. Якщо послідовність спадає і обмежена знизу, то ця послідовність має скінчену границю (збіжною).

◄1)  і обмежена зверху, тобто МєR nєN: х_n≤M.Розглянемо множину Х={х_n, nєN} обмежена зверху (наприклад М), X  0   supX=sup{х_n}=a, (пєN), aєR, a=limх_n-?( п).

  n₀єN n>n₀ !х_n-a!<  a-< х_n<a+  х_n<a+  nєN: х_na<a+. З іншого боку a-<а за вл. sup маємо:

 х_n0 єХ: х_n0>a-, тобто n>n₀ х_n х_n0>a-. З цих міркувань   n₀єN n>n₀: a-< х_n<a+, тобто lim х_n=a( п).

2)  і обмежена знизу, тобто  mєR nєN: m<х_n.Розглянемо множину Х={х_n, nєN} обмежена знизу (наприклад m), X  0   infX=inf{х_n}=a, (пєN), aєR, a=limх_n-?( п).

   n₀єN n>n₀ !х_n-a!<  a-<х_n<a+  х_na>a-  nєN. З іншого боку a+>х_n0 n>n₀ х_n х_n0>a+. Отже,    n₀єN n>n₀: a-< х_n<a+, тобто lim х_n=a( п). ►

4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.

Послідовність називається фундаментальною, якщо    n₀єN n>n₀ і m>n₀: !х_n- х_m!<.

Критерій Коші. Для того, щоб послідовність була збіжною  щоб була фундаментальною.

◄ ) збіжна   lim х_n=a( п), аєR     n₀єN n>n₀ : !х_n-a!< /2. Розглянемо m>n₀ : !х_m-а!</2, тоді !х_n- х_m!= !х_n- а+ а - х_m! !х_n- а!+ !а-х_m!< /2+ /2=  фундаментальна.

)   n₀єN n>n₀ і m>n₀: !х_n- х_m!< /2 (за властивістю фундаментальної послідовності)  є обмеженою   збіжна послідовність і lim х_n=a( п), аєR    n₀єN k>k₀ : !х_nk – a!< /2.

Позначимо max{ n₀ ,k₀}=n^*

 n n^* і  k n^* : !х_n – a!= !х_n –х_nk +х_nk – a!!х_n –х_nk !+!х_nk –a!< /2+ /2=. !х_n – a!< 

lim х_n=a( п). ►