5. Фундаментальна система розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь. Загальний розв’язок однорідної та неоднорідної систем лінійних рівнянь.
(1)
(2)
Систему (1) називають відповідною або приєднаною для системи (2).
Озн.
Будь-яка максимально лінійно незалежна
система розв’язків системи лінійних
однорідних рівнянь, ранг якої
називається фундаментальною системою
розв’язків лінійного однорідного
рівняння.
Для того, щоб знайти розв’язок системи лінійних однорідний рівнянь (1) нам достатньо знайти фундаментальну систему розв’язків системи (1), а будь-який інший розв’язок цієї системи представляється як лінійна комбінація цієї системи.
Т1.
Будь-яка фундаментальна система
розв’язків системи лінійних однорідних
рівнянь рангу
містить
розв’язків.
Т2.
Якщо вектори і
є розв’язками системи рівнянь (2), то їх
різниця є розв’язком відповідної
системи (1).
Т3.
Якщо вектор
є розв’язком (2), а вектор
– (1), то
розв’язком системи (2).
Т4. Будь-який розв’язок системи лінійних неоднорідних рівнянь (2) можна одержати як суму будь-якого частинного розв’язку системи (2) і будь-якого розв’язку системи (1).
(загальний
розв’язок неоднорідної системи рівнянь)
=
(частинний
розв’язок) +
(загальний
розв’язок відповідної однорідної
системи).
6. Квадратичні форми та їх зведення до канонічного вигляду. Нормальний вигляд квадратичної форми. Закон інерцій.
(1)
–матриця
квадратичної форми (1).
–ранг
квадратичної форми
Озн. Квадратична форма, яка містить тільки квадрати змінних називається канонічним виглядом квадратичної форми
Кількість квадратів у канонічному вигляду квадратичної форми дорівнює рангу квадратичної форми
Т.Лагранжа. Для будь-якої квадратичної форми існує лінійне не вироджене перетворення, яке зводить її до канонічного вигляду.
Озн.
Квадратична форма називається нормальною,
якщо вона містить тільки квадрати
змінних з коефіцієнтами
.
Т.Закон інерцій квадратичної форми Кількість додатних і кількість від’ємних квадратів у норм. вигляді квадратичної форми не залежить від вибору лінійного перетворення, яким воно зводиться до норм. вигляду.