4. Основні алгебраїчні структури: групи, кільця, поля, лінійні простори. Означення та властивості. Приклади. Ізоморфізм.

Озн. Групою називають множину на якій задана бінарна операція, для якої виконуються умови:

1) операція алгебраїчна;

2) асоціативна;

3) існує нейтральний елемент у множинні для даної алгебраїчної операції: , ; 4) Для – нейтралізуючий: .

Висновок. У групі для кожного її елемента існує єдиний нейтралізуючий.

Ці 4 умови називаються аксіомами групи. Іноді при з’ясуванні, чи буде групою відносно заданої алгебраїчної операції аксіоми 3 і 4 замінюють рівносильними: з’ясовують, чи рівняння , однозначно розв’язуються для будь-яких .

Якщо алгебраїчна операція, задана в групі є комутативною, то таку групу називають абелевою або комутативною. В залежності від кількості елементів групи поділ. на скінченні та нескінченні.

Прикладом групи є , , – множина цілих чисел є нескінченною абелевою групою відносно операції додавання.

Озн. Непорожня множина елементів довільної природи називається кільцем, якщо у ній визначені дві бінарні операції, додавання і множення елементів множини , які задовольняють властивостям: 1) ; 2) 3) Рівняння у множині однозначно розв’язується для .

Наслідки з озн. кільця:

1. Відносно операції додавання кожне кільце є абелевою крупою.

2. Оскільки кожне кільце містить нульовий елемент, бо рівняння для однозначно розв’язується, тому .

3. Кожне кільце містить протилежний елемент до кожного свого елемента, бо однозначно розв’язується для , тому .

4. Оскільки в кожному кільці однозначно розв’язується, тому

- кожне кільце містить різницю будь-яких своїх елементів.

5. . Дійсно, , і навпаки.

Озн. Множину елементів довільної природи, яка містить більше одного елемента називається нечисловим полем, якщо в ній визначені дві бінарні алгебраїчні операції, які задовольняють таким властивостям:

:

I

II .

1. ;

2. ;

3. однозначно розв’язується у ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. однозначно розв’язується у для .

Наслідки з озн.

1. Кожне поле містить одиничний елемент : .

2. До кожного елемента існує обернений елемент такий, що , бо рівняння однозначно розв’язується у полі .

Жодне поле не має дільників нуля (якщо , але Б то елементи називаються дільниками нуля). Кожне поле є підгрупою відносно операції множення. Якщо

3. – адитивна група відносно операції множення.

Прикладом поля може бути множина(операція додавання) .

Морфізми.

Розглянемо , , , , , .

Озн. Будь-яке відображення групи на групу називається морфізмом, якщо воно зберігає групову структуру, тобто , .

Озн. Морфізм групи на групу називається ізоморфізмом групи на , якщо відображення є взаємно-одно­знач­ним відображенням групи на .

Властивості ізоморфізмів.

1. Нехай ізоморфізм групи на групу , – нейтральний елемент групи , – нейтральний елемент групи , тоді . Дійсно. , , , .

2. Якщо ізоморфізм групи на групу , то .

3. - групи. Існує ізоморфізм : , тоді відображення , яке діє за правилом: , яке теж є ізоморфізмом.

Якщо – ізоморфізм групи на групу і група адитивна, то і група теж буде адитивною.