21. Поточкова і рівномірна збіжність функціональних послідовностей та рядів. Критерій Коші та ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності

Нехай , n=1,2,…

тоді кажуть, що на множині X задані послідовність функцій (1)

функція

Озн.: Послідовність (1) збігається на множені до функції f якщо : (2) <=>

, =>

Озн.: Послідовність (1) збігається рівномірно на до функції f, якщо , =>

Познач. на

Критерій Коші: Для того, щоб послідовність мала граничну функцію f на <=> щоб , , m>n₀ :

,

Озн.: (*) – функціональний ряд, де функції U_k(x) задані на ={x}

Sn(x) = U₁(x) +…+ U_n(x) – послідовність частинних сум.

Озн.: Якщо скінчена , в кожній точці x є , то функціональний ряд (*) збігається по точково на .

на , то функціональний ряд (*) збігається рівномірно на , то, то і ряд збігається так же.

Критерій Коші. Для того, щоб функціональний ряд (*) збігається рівномірно на <=> щоб , та => ,

Ознака Вейєрштрасса: Нехай:

1) : , k=1,2,…, C_k=const.

тоді кажуть, що кожен член ряду (*) мажорується на . Const C_k – називається мажорантною.

2) додатний числовий ряд (збігається)

тоді функціональний ряд (*) збіг на рівномірно.

Алгебра та теорія чисел

1. Скінченновимірні лінійні простори. База простору. Зв’язок між різними базами.

Дійсний лінійний простір V, в якому  хоча б одна максимально лінійно незалежна система векторів називається скінченновимірним лінійним простором. Якщо в лінійному просторі не  максимально лінійно незалежна система векторів, то його називають нескінченновимірним лінійним простором.

Т.Якщо в лінійному просторі V  хоча б одна максимально лінійно незалежна система векторів, то він ізоморфний n-вимірному векторному простору векторів-рядків.

Озн. Якщо взаємно однозначне відображення f лінійного простору V на V задовольняє 2 умовам: то відображення f називається ізоморфізмом лінійного простору V на V. Якщо  ізоморфне відображення f лінійного простору V на V, то ці простори називаються ізоморфними.

теж ізоморфізм, якщо f ізоморфізм. Всі максимально лінійно незалежні системи n-вимірних векторів простору векторів-рядків мають однакову кількість векторів, тому в лінійному просторі V всі максимально лінійно незалежні системи мають також однакову кількість векторів. Будь-яку максимально лінійно незалежну систему векторів скінченновимірного простору V назвемо базою або базисом лінійного простору V. В скінченновимірному просторі баз безліч, але всі вони мають однак. кількість векторів кількість векторів, які входять в базу скінченновимірному лінійному просторі називають розмірністю простору і позначають dimV.

Зв’язок між базами. Розглянемо дійсний простір , бази в ньому ; називають матрицею переходу від бази e до e. Рядками матриці є коефіцієнти розкладу векторів бази e за векторами бази e. Порядок матричного переходу завжди дорівнює розмірності простору матриці T, бо в протилежному випадку рядки були б лінійно залежні, а отже й вектори e були б лінійно залежні, що суперечить тому, що ці вектори є базою.

ця формула виражає зв’язок між базами, , де Q матриця переходу від e до e.

;  оскільки вектори баз e ,e лінійно незалежні, то з цих рівностей