17. Невизначений інтеграл і таблиця інтегралів. Заміна змінної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.
Озн: Функція F визначена на X і диференційов-на на X називається первісною для f на X, якщо вона задовольняє рівність:
F'(x)=f(x), xєX.
Озн:
Сукупність всіх первісних функцій для
f
на
X
називаються
невизначеним інтегралом.
1)
2)
3)
4)
,
x>0
або x<0
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Заміна змінної:
Твердження: Нехай g:X R – неперервна, gєC(X), тоді для неї первісна G(x) на X:
Якщо
G(x)-первісна
для g(x)
на
X,
то
-
первісна для функцій
,
де
-
диференційовна на деякому проміжку T;
функція
і її похідна неперервні на T.
Отже, виконується умова:
Інтегрування частинами:
U=U(x),
V=V(x), xєX.
U' і V' – неперервні на X (тобто U,V –неперервно диференційовні ф. на X)
тоді виконується формула:
18. Пояснення визначеного інтеграла (інтеграл Рімана) та його основні властивості.
Суму
-
інтегральна сума для функцій f
і
розбиття
і
познач.
.
Озн:
Число I
називається границею при
інтеграл. суми
,
якщо
що
для всіх розбиття
з
поміченими точками
,
параметр яких <
=> |
-
I|<
,
при довільному виборі точок
.
Якщо
границя
І, то її називається визначеним інтегралом
функції f,
взятим по [a,b] і позначається
.
Функція f, для якої інтеграл називається інтегровною за Ріманом.
Властивості:
1) лінійність інтеграла:
Якщо
функції f,g
– інтегровні на [a,b],
то
теж
інтегровна на [a,b]
=>
2) адитивність інтеграла:
Нехай
функція f
є R[a,b]
(інтегровна
за Ріманом), с є (a,b):
a<c<b,
тоді функція f
є R[a,с]
і
f
є R[с,b]
=>
3) Оцінка інтеграла:
Нехай функція f- інтегровна на [a,b]; при a b, тоді |f| є R[a,b]
=>
4) Монотонність інтеграла:
Нехай
функції f,g
є R[a,b],
a<b
і f(x)
g(x),
x є [a,b],
тоді
19. Основні класи інтегровних за Ріманом функцій (інтегровність неперервних і монотонних функцій).
Теорема. Для того, щоб функція f була інтегровна за Ріманом на [a,b] <=> щоб
(*)
тобто,
=>
inf
f(x)=mk,
нижня і
sup
f(x)=Mk,
верхня
суми Дарбу
необхідність f є R[a,b] дов. (*)
при
,
=> (*).
достатність
скористаємось нерівністю:
,
де
-
верхній інтеграл Дарбу
-
нижній інтеграл Дарбу
=>
I*=I*=I
тоді
,
а також виконується
=>
,
,
якщо
=>
,
отже, f
є R[a,b].
Теорема.
Якщо функція f
– неперервна на [a,b],
то вона інтегровна на [a,b],
та f
є C[a,b]
=> f
є R[a,b];
C[a,b]
R[a,b]
Наслідок з теореми Кантора про рівномірну неперервність.
b>a
з
[a,b]
з
=>
(k=1,…,n)
(бо
)
20. Неперервність та диференційовність Рімана із змінною верхньою межею. Основна формула інтегрального числення – формула Ньютона-Лейбніца.
Нехай
на [a,b]
задана
функція f(t),
яка інтегровна на [a,b].
Розглянемо
x
є [a,b].
[a,x]
[x,b]
– розбиття [a,b]
точкою x,
тоді f
– інтегровна на обох цих відрізках,
тобто
.
Отже, кожному x
є [a,b]
відповідає деяке число, тому
=>
,
x є [a,b]
– це інтеграл зі змінною верхньою межею.
Теорема1. Якщо f є R[a,b], то функція F – неперервна на [a,b].
досить розглянути x є [a,b] і перевірити в ньому неперервність функції F. Використаємо означення з приростами.
,
x
+
є
[a,b].
-
приріст функції. що відповідає приросту
аргументу
|
Перший інтеграл =
|
,
позначимо
тому
m’
f(t)
M’,
при t
є [x,x
+
].
Застосуємо до
теорему
про середнє значення (
,
f,g
– інтегровні)
(
,
f
– неперервні)
(*)
,
Якщо
m,M
– точні
межі f(t)
на
[a,b],
то
=>
Якщо
то
=>
Теорема2. Якщо функція f- інтегровна на [a,b] і неперервна в точці t=x, то функція F- диференційовна в точці x і виконується рівність:
F’(x)=f(x).
за означ. похідної для даної теореми виконується (*)
f – неперервна =>
=>
Нехай
,
отже, т. x
+
є
(x
-
,
x
+
)
m’ f(t) M’ => =>
,
з
(*)
=>
,
=>
має
границю при
,
що = f(x),
отже, функція F
– диференційовна
в точці x,
тобто має похідну в цій точці. F’(x)=f(x)
Формула Ньютона-Лейбніца:
,
F
є
первісна для f
на
[a,b].
G – довільна первісна для f на [a,b].
x=a: G(a) = F(a)+C, C=G(a)
x=b: G(b) = F(b)+C = I+G(a)
I=G(b)-G(a)
=
;
