5.Распределение дискретных случайных величин.

Для построения контрольных карт числа и доли дефектных единиц (пр- и р- карты), а также для выбора планов контроля по альтернативному признаку за основу принимается биномиальное распределение.

Биномиальное распределение – распределение вероятностей дискретной случайной величины Х, принимающей любые целые значения от 0 до n, такие, что

Р (16)

при х = 0,1,2…, n и параметрах n = 1,2…;

, (17)

где Р – вероятность обнаружить х несоответствующих единиц в выборке; n - объем выборки; р – вероятность обнаружить несоответствующее изделие.

Биномиальное распределение отличается следующими свойствами:

а) распределение является дискретным;

б) средним арифметичеким биномиального распределения служит пр, а стандартным отклонением ;

в) если , а , то в качестве приближения для биномиального предпочтительно в основном использовать нормальное распределение;

г) когда рассматривается доля несоответствующих изделий в выборке n, то необходимо вместо х брать , среднее арифметическое p, а стандартное отклонение .

Распределение Пуассона

Для построения контрольных карт числа и доли несоответствий (с- и u- карты) и проведения выборочного контроля по альтернативному признаку при малом проценте несоответствующих единиц и большом объеме выборки используют распределение Пуассона (распределение редких событий).

Если п стремится к бесконечности, то из биномиального распределения получают формулу Пуассона для выражения вероятности появления редких событий.

Распределение Пуассона – распределение вероятностей дискретной случайной величины Х такое, что

Р (18)

при х = 0,1,2…и параметре m >0,

где m = пр.

Характерные свойства распределения Пуассона:

а) распределение Пуассона является дискретным;

б) среднее значение распределения Пуассона равно m, а стандартное отклонение .

6.Определение вероятности нахождения случайной величины в определенном интнрвале.

Вероятность попадания в интервал от х₁ до х₂ можно определить по формуле

. (14)

Таким образом, вероятность попадания случайной величины (значение параметра) Х в поле допуска определяется формулой

. (15)

Можно найти вероятность того, что случайная переменная Х окажется в пределах μ k.

Полученные значения для k =1,2 и 3 следующие:

Между 3σ-границами (μ-3σ; μ+3σ ) находится 99,73% всех наблюдений, т. е. практически все значения. Только 0,27% значений находятся за этими границами, а именно 0,135% за границей μ+3σ и 0,135% – за μ-3σ .

Таким образом, если какое-либо значение появляется за пределами трехсигмового участка, в котором находятся 99,73% всех возможных значений, а вероятность появления такого события очень мала (1:270), следует считать, что рассматриваемое значение оказалось слишком маленьким или слишком большим не из-за случайного варьирования, а из-за существенной помехи в самом процессе, способной вызывать изменения в характере распределения.

Участок, лежащий внутри трехсигмовых границ, называют также областью статистического допуска соответствующей машины или процесса.