§ 3. Работа в электростатическом поле

3.1 Разность потенциалов, энергия заряда в электрическом поле. Потенциал

В предыдущем параграфе мы обсуждали основную характеристику электрического поля – его напряжённость. Как следует из самого определения – это силовая характеристика, а значит векторная. В ряде случаев более удобными являются скалярные характеристики, которые, оказывается, тоже можно ввести для электростатического поля – разность потенциалов и потенциал. При этом мы будем опираться на важное фундаментальное свойство сил, действующих на заряд в электростатическом поле – их консервативность.

Напомним, что консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории движения тела. Работа таких сил определяется лишь координатами начальной и конечной точек перемещения. Опираясь на наши знания свойств его силовых характеристик электростатического поля, созданного произвольной системой зарядов, можно было бы провести подробное доказательство равенства работ при движении заряда между любыми двумя его точками. Но мы несколько сократим эту процедуру, вспомнив теорему «о консервативности центральных сил», доказанную нами в разделе механика.

Неподвижный точечный заряд является источником «поля центральных сил» – это прямо следует из формулировки основного закона электростатики – закона Кулона. Из принципа суперпозиции электрических полей следует, что работа при перемещении пробного заряда в поле любой системы покоящихся зарядов является алгебраической суммой работ в поле каждого из зарядов в отдельности. А значит поле таких сил («кулоновских сил»^*)) также является полем сил консервативных. Это и требовалось доказать.

Таким образом, работа сил электростатического поля ^**) по перемещению точечного (пробного) заряда между двумя точками характеризует это поле. Но она зависит и от величины пробного заряда q₀. Об этом говорит опыт, но это понятно и, исходя из наших знаний о «кулоновских» силах. Ведь они пропорциональны заряду q₀ в каждой точке траектории 12 (исходя из закона Кулона), а работа пропорциональна силе. Чтобы охарактеризовать поле и только поле можно поделить работу на величину пробного заряда. То, что получится и есть «разность потенциалов». Приведём определение этого важного понятия:

• (Опр.) Разностью потенциалов между точками электростатического поля 1 и 2 называется отношение работы поля по перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2 к величине этого заряда:

. (3.1)

В системе СИ единица измерения разности потенциалов называется 1 вольт (1 В = 1 Дж/Кл). Если мы научимся каким-либо образом определять разность потенциалов ₁–₂ для поля системы покоящихся зарядов (теоретически или экспериментально), то это позволит находить работу поля по перемещению любого точечного заряда q в этом поле:

. (3.2)

Таким образом, разность потенциалов это энергетическая характеристика электрического поля, поскольку связана непосредственно с понятием работы.

В механике мы вводили для консервативных сил (сейчас мы, скажем: «полей консервативных сил») понятие «потенциальная энергия». При этом мы руководствовались следующим принципом: «работа сил поля равна убыли потенциальной энергии». Формализуем этот принцип в аналитической записи:

. (3.3)

Здесь U₁ и U₂ – потенциальная энергия в «начальном» («1») и «конечном» («2») состояниях системы соответственно. В обсуждаемом случае поля системы неподвижных зарядов – это энергия точечного заряда q в положении «1» (с координатами {x₁,y₁,z₁}) и положении «2» (с координатами {x₂,y₂,z₂}) электростатического поля. Т.е. потенциальная энергия заряда в этом поле – скалярная функция координат точек поля U = U(x,y,z) (или ). Сравнивая (3.2) и (3.3), видим – удобно считать, что разность потенциалов представляет собой разность значений ещё одной скалярной функции координат точек поля (x,y,z). Она связана с функцией U(x,y,z) (потенциальной энергией) простым соотношением: U(x,y,z) = q(x,y,z). Или, поскольку

, (3.4)

говорят, что она «численно равна потенциальной энергии единичного положительного заряда» в данной точке поля. И называется эта величина  «потенциал» данной точки электростатического поля.

Самое важное заключается в том, как найти эту функцию для поля конкретной системы зарядов? Какова процедура действий?

Прежде всего, придётся договориться об условиях нормировки^*): надо выбрать точку Р₀, в которой потенциал пробного заряда будем полагать равным нулю . Чаще всего такую точку выбирают «бесконечно» удалённой, там где поле отсутствует ^**). Для этого надо найти «удельную» работу поля –т.е. работу, отнесённую к величине переносимого пробного заряда (или, как нередко говорят, «по перемещению единичного положительного» заряда) из данной точки поля Р(x,y,z) в точку нормировки Р₀. В аналитической форме это определение потенциала можно записать так:

• (Опр.) _Р(x,y,z) = . (3.5)

Нельзя ли выразить вновь введённые нами величины – разность потенциалов и потенциал через силовую характеристику, которую мы уже научились рассчитывать по заданному расположению зарядов в пространстве? Конечно можно. Запишем цепочку хорошо понятных нам равенств:

.

Выпишем последнее равенство ещё раз

. (3.6)

Оно даёт «рецепт» поиска разности потенциалов по известной функции напряжённости. Аналогично для потенциала:

.

И окончательно для потенциала произвольной точки поля Р с координатами (x,y,z):

. (3.7)