• Сделаем два замечания о понятии «поток вектора напряженности»

1. Если соблюдено условие – «густота силовых линий пропорциональна величине напряжённости поля», то справедливо и следующее важное утверждение: «поток вектора напряженности через данную поверхность пропорционален числу силовых линий проходящих сквозь неё». Этим мы воспользуемся впоследствии при доказательстве теоремы Гаусса.

Только придётся сделать ещё одну важную оговорку: поскольку поток «величина алгебраическая», т.е. может иметь разный знак в зависимости от направления, в котором силовые линии пересекают поверхность (знака скалярного произведения E_ndS или соответствующей суммы), договоримся и «число линий» считать с учётом этого направления. Так, например, для замкнутых поверхностей линия «выходящая» изнутри наружу даёт вклад «+1», а «входящая» снаружи вовнутрь – «-1» в общее «число силовых линий, пересекающих поверхность»!

2. Принцип суперпозиции для потоков

Пусть поток вектора напряжённости (для краткости просто «поток») через некоторую поверхность  создаёт система N точечных зарядов q_i (заряженных частиц): q₁, q₂, ..., q_i, ..., q_N. Покажем, что полный поток  равен в этом случае алгебраической сумме потоков _i, создаваемых каждой частицей в отдельности^*).

Полный поток для поля всех заряженных частиц можно вычислить так:

Напряжённость в месте расположения каждого из малых элементов поверхности ^**), по которым ведётся интегрирование (суммирование!) может быть записана как сумма напряжённостей от каждого из N зарядов-источников поля по принципу суперпозиции напряжённостей:

,

т.е. сумме проекций напряжённостей полей от каждого из зарядов в данной точке поверхности. Поменяем теперь местами операции интегрирования и суммирования:

.

Но ведь величина в квадратных скобках – это не что иное, как поток вектора напряжённости поля, создаваемого каждым из N зарядов через поверхность , т.е. _i. Мы приходим к важному выводу, что поток вектора напряжённости поля системы зарядов равен алгебраической сумме потоков каждого из зарядов по отдельности:

. (2.3)

Это и требовалось доказать. Мы также используем это утверждение при обосновании теоремы Гаусса.

3*. Понятие потока используется при описании электрического, магнитного и других векторных полей. Мы уже встречались с этим понятием в разделе «гидродинамика» (обозначение Q, правда, использовалось традиционно иное, чем обычно в электромагнетизме) – вспомните формулу Пуазейля. Именно в гидродинамике это понятие и появилось впервые, имея при этом весьма прозрачный физический смысл. Ведь просуммированное по поверхности поперечного сечения трубы произведение v_n·dS даёт объём жидкости (или газа) переносимой через это сечение трубы в единицу времени:

, (2.4)

Это и есть «поток» векторного стационарного поля скоростей элементов жидкости .

Как видим, для потока других векторных полей (электрического _E, магнитного _B) математическая конструкция сохраняется с точностью до иных обозначений. Они определяют важные свойства этих полей. Название сохранено, однако никакого переноса вещества в пространстве уже не происходит.