12.3 Уравнения Максвелла (в интегральной форме)

«Самое главное в теории электромагнетизма Максвелла – это уравнения Максвелла» - Г. Герц

Вот теперь у нас всё готово, чтобы выписать так называемую систему уравнений Максвелла. Справа от соответствующего равенства будем кратко комментировать физическое содержание этих зачастую не очень простых математических соотношений. Итак:

(I) (Теорема Гаусса – закон Кулона + принцип суперпозиции);

(II) (Теорема Гаусса для магнитного поля – магнитных зарядов в природе нет!);

(III) (Закон электромагнитной индукции в трактовке Максвелла);

(IV) . (Теорема о циркуляции «подправленная» Максвеллом)

Вместе с законом силы, действующей на заряженную частицу в электромагнитном поле (мы называли её обобщённгой силой Лорентца)

эта система является основой классической электродинамики, фундамент теории электромагнитного поля Максвелла.

Если же вспомнить 3 закона механики Ньютона и добавить к ним закон Всемирного тяготения, то мы получим всё принципиальное знание, добытое человечеством к концу XIX столетия и наываемое «Классическая физика»!

*⁾ аналогично мы поступали и при формулировании закона Всемирного тяготения.

*⁾ Если поле создаётся протяженными заряженными телами, их можно разбить на малые элементы, которые также можно будет считать точечными зарядами.

*⁾ Для решения задач подобного рода применительно к гравитации Ньютону, как мы помним, пришлось разрабатывать новый математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

*⁾ Математики формулируют более общую теорему «Остроградского-Гаусса» для векторных полей определённого сорта. Заметим, что Остроградский – один из учителей Д.И. Менделеева.

*⁾ Чтобы не «утяжелять» обозначения мы опускаем нижний индекс «Е» в обозначении потока вектора напряжённости.

*^*) положение каждого малого элемента задано радиус–вектором .

*⁾ Как обычно, такие тела можно разбить на малые элементы, которые можно считать точечными зарядами.

*⁾ Дополнительный символ «*» в обозначениях * и * нам понадобился, чтобы подчеркнуть – интегрирование ведётся не по «замкнутой поверхности»  и «ограниченной ею области пространства» , которые фигурируют в «тексте» теоремы, а по заряженным телам, оказавшимся внутри этой поверхности (и в этой области пространства).

*⁾ Мы уже отмечали, что Ньютон решал такую задачу применительно к гравитационному полю.

*⁾ Мы сознательно опускаем индексы «1» и «2» в обозначении поверхностей ₁ и ₂, чтобы не загромождать запись.

*⁾ Здесь мы учитываем, что поле в однородном изотропном диэлектрике в  раз меньше, чем поле в вакууме.

*⁾ Здесь мы также учли ослабление поля в диэлектрике в  раз по сравнению с полем в вакууме.

*^*) Применение теоремы Гаусса для случая «плоской» симметрии мы ещё затронем на примере вычисления поля внутри плоского конденсатора.

*⁾ В дальнейшем мы для краткости нередко будем прибегать к такому «жаргону» вместо того, чтобы каждый раз подробно писать: «силы, действующие в электростатическом поле».

*^*) Опять-таки для большей компактности мы часто будем вместо обозначения использовать просто А₁₂ .

*⁾ Вспомните процедуру расчёта потенциальной энергии для произвольной консервативной силы в механике.

*^*) Только при решении модельных задач о заряде, распределённом по бесконечной области пространства (гипотетический случай) с плоской или осевой симметрией, подобная нормировка недопустима.

*⁾ Как обычно, в процессе подобной процедуры интегрирования мы будем использовать одинаковое обозначение «r» для исходного расстояния точки от заряда и для переменной интегрирования, несколько погрешив при этом против «строгих» правил обозначений, принятых в математике.

*⁾ Определяя «приращение» всегда из конечного значения вычитают начальное.

*⁾ Термин «градиент» как и его обозначение, впервые в математику был введен Максвеллом в 1873 г. Кое-где вы можете встретить для градиента и иное обозначение – «оператор набла»: . Не пугайтесь – это то же самое!

*⁾ Здесь было использовано определение электроёмкости конденсатора С = q/.

*⁾ Иногда говорят для краткости, что это «энергия, приходящаяся на единицу объёма пространства, где есть электрическое поле.