8.3 Применение теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции

Как мы уже отмечали, применение теоремы о циркуляции вектора оправданно при решение задач с плоской, цилиндрической и сферической симметрией переноса заряда. В этих случаях за счёт выбора формы контура С интеграл в левой части равенства (8.1) можно свести к произведению модуля вектора на длину контура или отдельных его частей. Проиллюстрируем это на примере.

Пример 1

По длинному прямолинейному проводнику радиуса R течёт ток. Плотность тока распределена равномерно по сечению проводника и равна j. Найти зависимость индукции магнитного поля тока как внутри, так и вне этого проводника.

Договоримся сразу, что магнитная проницаемость вещества провода и окружающей среды практически равна единице (т.е эти вещества не являются ферромагнитными). Для длинного проводника (строго говоря, «бесконечено длинного») можно говорить об осевой симметрии задачи – в любой плоскости, перпендикулярной проводнику, линии поля – окружности с центрами на оси проводника. Модуль вектора зависит только от расстояния до проводника и постоянен на любой такой линии. Для применения теоремы о циркуляции выбререм поэтому окружность радиуса r совпадающую с одной из линий поля. Векторы и на любом её участке сонаправлены, поэтому:

. (*)

(мы уже проделывали подобное при доказательстве теоремы – шаг а).

Отметим теперь, что закон изменения индукции с расстоянием, вероятно, различен для области пространства вне и внутри проводника. И применим теорему о циркуляции дважды, выбрав соответствующие контуры С₁ и С₂ (см. рис. 8.5) – окружности с радиусом r большим и меньшим, чем радиус R цилиндрического проводника с током соответственно. Выражения для циркуляции магнитного поля для обоих контуров по виду записи совершенно одинаковы – В2r. Отличия будут лишь в диапазоне значений радиуса окружности (для С₁: r > R, а для С₂: 0 < r < R) и в правой части равенства (8.1), соответствующего теореме о циркуляции:

₀ j R² – для поля вне проводника, и

₀ j r² – для поля внутри проводника, т.е. при 0 < r < R.

Мы здесь учитываем, что плотность тока отлична от нуля и постоянна (j) только в пределах проводника (поверхности ₁) радиуса R. Результаты для индукции магнитного поля можно записать в виде:

– вне проводника, т.е. при r > R и

– внутри проводника, т.е. при 0 < r < R.

На рисунке показано распределение магнитного поля в радиальном по отношению к оси проводника направлении.

Ясно, что направление магнитного поля в любой точке пространства определяется правилом “правого винта”.

Пример 2

Используя теорему о циркуляции, найдём также поле соленоида.

С оленоидом обычно называют длинню катушку – длина катушки много больше её диаметра. Прежде чем применять рассмотренный выше подход (теорему о циркуляции) сделаем некоторые заключения о структуре поля соленоида. Катушка состоит из большого количества одинаковых витков с током, каждый из которых дает свой вклад в результирующее магнитное поле. При этом для каждого витка найдется симметрично ему расположенный по отношению к плоскости, перпендикулярной к оси катушки (О₁О₂, см. рис. 8.7). Сумма векторов индукции от симметричных витков в любой точке этой плоскости даёт вектор параллельный оси соленоида. Итак, направление векторов может быть только параллельным оси катушки как вне, так и внутри неё.

Выберем теперь контур 1–2–3–4 для применения теоремы о циркуляции в виде прямоугольника, две стороны которого располагаются вдоль оси катушки, а две другие – перпендикулярно. Одна из сторон 1–2 при этом расположена внутри катушки, а противоположная 3–4 – вне (см. рис. 8.8).

Циркуляция вектора складывается из интегралов:

.

Т акой результат получается по следующим соображениям. Второе и четвёртое слагаемое равны нулю, так как на любом участке сторон контура 23 и 41 векторы и взаимно-перпендикулярны. Участок 34 может быть выбран на любом расстоянии от оси соленоида, в частности на очень большом, где магнитное поле пренебрежимо мало (вспомним закон убывания индукции поля с расстоянием по закону БСЛ). Поэтому выражение для циркуляции практически полностью определяется индукцией поля внутри соленоида. Остаётся приравнять его произведению ₀ на сумму токов, пронизывающих контур. Получаем:

, или ,

где N – общее число витков на длине катушки , а n – число витков на единицу длины соленоида. Отсюда индукция поля внутри соленоида:

B = ₀nI ^*) . (8.2)

Независимость циркуляции от расположения внешнего участка контура (34) говорит также о том, что магнитное поле вне соленоида очень мало. Практически все поле сосредоточено внутри катушки и однородно. Таким образом длинный соленоид в у чении о магнетизме играет роль аналогичную конденсатору в электростатике (напомним, что электрическое поле конденсатора однородно и сосредоточено между его обкладками).