6.3 Разветвлённые цепи. Правила Кирхгофа

С помощью закона Ома рассчитывают силы токов по заданным величинам ЭДС и сопротивлений только в простейших случаях, когда цепь можно свести к одному контуру. Для разветвлённых цепей весьма удобно использовать так называемые правила Кирхгофа. Из закона сохранения заряда для стационарных токов следует первое правило Кирхгофа (правило узлов):

• алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (6.7)

Узлом называется точка, в которой соединяются 3 или более проводников. Направления сил токов в отдельных неразветвлённых участках, разделённых узлами, выбирают произвольно. При этом условно считают силы токов, «входящих» в узел, положительными величинами, а «выходящих» из узла – отрицательными. Первое правило (6.7) запишем, например, для узла а в схеме, приведённой на рис. 6.5:

.

Из закона Ома для неоднородных участков цепи следует второе правило Кирхгофа (правило контуров):

• алгебраическая сумма произведений сил токов на полные сопротивления в неразветвлённых участках контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре,.

. (6.8)

Д ля практического применения второго правила Кирхгофа сначала в разветвлённой цепи выбирается тот или иной контур. Затем «направление обхода» этого контура (по часовой стрелке или против неё). Знаки произведений сил токов на полные сопротивления I_i(R_i + r_i) и ЭДС источников _i в равенстве вида (6.8), считаются положительными, если направление токов и ЭДС совпадает с направлением обхода контура. Докажем справедливость второго правила Кирхгофа на примере.

• Пример

Для каждого из неоднородных участков цепи схемы рис. 6.6, разделённых узлами (a, b, c, d), запишем Закон Ома:

I₁(R₁ + r₁) = _a  _b + ε₁ ;

I₂(R₂ + r₂) = _b  _c  ε₂;

 I₃(R₃ + r₃) = _c  _d  ε₃;

 I₄ R₄ = _d  _a .

Сложим теперь левые и правые части написанных равенств. В итоге получим:

I₁(R₁ + r₁) + I₂(R₂ + r₂)  I₃(R₃ + r₃)  I₄R₄ = ε₁  ε₂  ε₃.

Убедитесь, что это в точности соответствует второму правилу Кирхгофа для контура abcd при обходе его по часовой стрелке.

Из системы уравнений составленных по правилам Кирхгофа для остальных контуров и узлов схемы аналогично приведённым можно найти значения сил токов, текущих по всем участкам анализируемой цепи. Если при заданных величинах , R_i и r_i, то или иное значение силы тока окажется отрицательным, то это будет означать, лишь, что истинное направление силы противоположно произвольно выбранному.

§ 7. Магнитное поле в вакууме

7.1 Взаимодействие токов

С древних времён человеку было знакомо наряду с электрическим и «магнитное» взаимодействие, в котором проявлялись особенные свойства камешков, найденных вблизи древнего города «Магнесия»^*). Сейчас мы назвали бы их «постоянными магнитами». В средние века в научном изучении этих свойств немало преуспел английский учёный Гильберт^**). В частности, ему удалось далеко продвинуться в понимании земного магнетизма.

Гильберт создал первую теорию магнитных явлений. Установил, что любой магнит имеет два полюса, разделить которые невозможно! Гильберт первым выдвинул гипотезу о том, что стрелка компаса ориентируется по сторонам горизонта, поскольку сама Земля является гигантским магнитом. Он сумел подтвердить эту догадку экспериментально, проводя опыты с намагниченным железным шаром – «тереллой» (маленькая Земля).

Однако вплоть до начала XIX века была не ясна связь магнетизма и электричества. В 1820 Г.Х. Эрстед в своём знаменитом теперь эксперименте («опыт Эрстеда») обнаружил такую взаимосвязь. Магнитная стрелка компаса, располагалась вблизи длинного проводника. В отсутствии тока стрелка была ориентирована в направлении с юга на север. При замыкании ключа в проводнике появлялся электрический ток, и стрелка компаса сразу же поворачивалась, располагаясь в поперечном к проводнику направлении. Таким образом, стало ясно, что электрический ток действует на постоянные магниты. Это стало отправной точкой по-настоящему научных и систематических исследований магнетизма.

Очень скоро А.М. Ампер экспериментально установил закон взаимодействия проводников с токами. А затем и выдвинул известную сейчас каждому школьнику гипотезу о природе магнетизма постоянных магнитов – «гипотезу Ампера»: это следствие микротоков протекающих внутри вещества, сейчас мы назвали бы их молекулярными. Из экспериментов Ампера следовало, в частности, что сила взаимодействия двух длинных прямолинейных параллельных проводников с постоянным током прямо пропорциональна произведению сил токов и обратно пропорциональна расстоянию между ними^*) F_м  . И здесь мы имеем дело с тем редким случаем, когда стоит сказать о коэффициенте пропорциональности. Оказалось, что в системе единиц СГСЭ этот коэффициент равен , где с – это скорость света! Из классической теории электромагнетизма следует возможность существования электромагнитных волн, скорость которых в вакууме равна с. Обнаружив такое совпадение, Максвелл выдвинул предположение, что свет – это и есть электромагнитные волны определённого частотного диапазона. Несколько позже Г. Герц экспериментально подтвердил эту блестящую гипотезу («опыты Герца»)!

Итак, уже в начале XIX века стало отчётливо ясно, что магнетизм порождается электрическими токами – движущимися электрически заряженными частицами, и проявляет себя действием на электрические токи – движущиеся электрически заряженные частицы. Впервые в нашем курсе мы сталкиваемся с силами, зависящими от состояния движения тел! Именно отделяя эту особую часть взаимодействия между заряженными частицами от «обычного кулоновского» и изучают законы магнетизма.

В результате проведения многочисленных опытов было показано, что взаимодействие проводников с током аналогично действию токов на магниты и магнитов на токи. Поэтому указанный вид взаимодействия получил название магнитного взаимодействия.

Отметим существенное отличие магнитного взаимодействия от рассмотренного выше электрического взаимодействия зарядов. Последнее зависит от величины этих зарядов. Магнитное взаимодействие возникает лишь при движении зарядов, то есть при наличии токов, и зависит от величины этих токов.