§ 5. Электрическое поле в диэлектриках

5.1 Электрический диполь

Прежде чем перейти к разговору о диэлектриках остановимся кратко на поведении так называемых «диполей» в электрическом поле. Ведь именно электрические диполи, как мы увидим ниже, играют определяющую роль в анализе поведения электрического поля в диэлектрических средах.

(Опр.) Электрическим диполем называется система, состоящая из двух одинаковых по модулю и противоположных по знаку точечных зарядов q жёстко связанных друг с другом и находящихся на расстоянии l друг от друга.

О сновной характеристикой диполя является его «дипольный момент»:

, (5.1)

г де вектор , проведённый от отрицательного заряда к положительному, называется «плечом» диполя (см. рис. 5.1).

+

Электрические системы, которые можно описать моделью диполя, довольно многообразны. На макроскопическом уровне это могут быть небольшие наэлектризованные диэлектрические тела, например, такие как используемые при «визуализации» структуры электрического поля – при построении картины силовых линий (см. п. 8.4). Продолговатое металлическое тело, к которому поднесли заряд – см. рис. 5.2. Нас же в дальнейшем в основном будут интересовать диполи микроскопических размеров. Это так называемые «элементарные диполи», модель которых часто применяется для описания электрического поведения отдельных атомов или молекул вещества. Действительно, хотя такие, например, молекулы как H₂O, HCl и NH₃, как и любые молекулы в целом электронейтральны, положительные и отрицательные заряды в них пространственно смещены друг относительно друга. Эти молекулы обладают значительным дипольным моментом. Впоследствии мы увидим, что и другие, т.н. «неполярные», молекулы способны приобретать дипольный момент при определённых условиях. Чтобы перейти впоследствии к обсуждению свойств электрического поля в диэлектрических средах сейчас наша задача понять, как ведёт себя электрический диполь во внешнем электрическом поле^*).

• Однородное поле. Начнём со случая однородного поля. Поскольку напряжённость такого поля одинакова во всех точках пространства, действующие на точечные заряды диполя q и -q силы и равны по величине и противоположны по направлению – результирующая сила равна нулю. Однако отличен от нуля момент этих сил, если только диполь не располагается вдоль силовых линий поля (  0, см. рис. 5.3)! Определим этот момент. Для начала запишем, чему равен момент сил относительно оси перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через отрицательный заряд диполя:

N = F⁽⁺⁾·l·sin = qE·l·sin = pE·sin

Можно показать, что этот результат не зависит от положения оси, перпендикулярной плоскости рисунка. А можно и написать, чему равен вектор момента силы:

, (5.2)

Итак, мы видим, что однородное электрическое поле оказывает на диполь ориентирующее действие, стремясь повернуть диполь по направлению поля.

• Неоднородное поле. В неоднородном поле помимо вращающего момента уже не равна нулю и сила, действующая на диполь. Чтобы найти эту силу будем для начала считать, что поле изменяется лишь в одном направлении. Направим по этому направлению координатную ось ОХ (см. рис. 5.4). Сложим векторы сил, действующих на каждый из точечных зарядов диполя:

_{Здесь Е}⁽⁺⁾ _{и Е}^(-) _{– напряжённость поля в месте нахождения положительного и отрицательного зарядов диполя соответственно. Глядя на рисунок, легко заметить, что один заряд диполя смещён относительно другого вдоль оси ОХ на расстояние dx, равное l·cos. Поэтому результирующую силу, действующую на диполь можно записать также в виде:}

Знак проекции силы определяется, таким образом, знаком производной модуля напряжённости по координате и его ориентацией относительно поля (углом ):

(5.3)

Пусть угол  не превышает 90. Забегая несколько вперёд, скажем, что это соответствует ориентации большинства элементарных диполей «поляризованной» диэлектрической среды, поскольку поле оказывает на диполи «ориентирующее воздействие» – мы будем говорить, что дипольные микрочастицы среды сориентированы «преимущественно по полю». Если поле убывает в направлении оси ОХ (случай рис. 5.4), то, как нетрудно сообразить, знак проекции F_x отрицателен (ведь «приращение» Е в этом направлении отрицательно). Это значит, что отрицателен и знак проекции силы – т.е. сила направлена против оси ОХ. Наоборот, если поле вдоль оси ОХ нарастает, то знак проекции положителен. В обоих случаях диполи втягиваются в область поля с большей напряжённостью!

В общем случае поле может изменяться при смещении в произвольном направлении, а его приращение равно

А результат для действующей на диполь силы можно обобщить так:

(5.4)

(5.4а)

Хотя его вид существенно усложнился, общий вывод остаётся тем же: «ориентированные по полю» (т.е. угол  < 90) диполи втягиваются в область поля с большей напряжённостью. Именно так ведёт себя жидкий парамагнитный диэлектрик, например, керосин – он втягивается в зазор между пластинами заряженного конденсатора.

• Энергия диполя

Какова энергия взаимодействия диполя с электрическим полем? Проще всего подсчитать эту энергию, используя наше знание энергии взаимодействия с полем точечных зарядов, из которых состоит диполь:

где ₍₊₎ и _(-) – потенциалы точек поля, где располагаются положительный и отрицательный точечные заряды диполя соответственно. Пусть, опять-таки, поле изменяется лишь в одном направлении – вдоль оси ОХ. Разность потенциалов в скобках, с учётом того, что мы имеем дело с «элементарным» диполем, может быть представлена так:

Учтём теперь связь между напряжённостью и потенциалом: Энергию диполя можно теперь записать в виде:

(5.5)

Хотя мы предполагали, что поле меняется лишь в одном направлении (ОХ), полученный результат справедлив для любого электрического поля. В этом случае  – угол между векторами и , а выражении для потенциальной энергии удобно представить в виде скалярного произведения этих векторов: . Обратите внимание, что полученный нами ранее результат (5.3) для силы, действующей на элементарный диполь со стороны неоднородного электрического поля, легко может быть получен теперь, и с использованием известного из механики общего соотношения между силой и потенциальной энергией: . Для отдельной проекции силы:

.