4.4 Энергия заряженного конденсатора. Энергия электрического поля

Ещё со школы вам известно, чему равна энергия заряженного конденсатора («формула» CU²/2). Как это обосновать? Ещё в разделе «механика» мы договорились считать энергию «запасом работы» системы. В данном случае запас этот возникает, благодаря работе по разделению зарядов между обкладками конденсатора в процессе его зарядки. Рассчитаем эту работу. Элементарная работа внешних сил по перемещению заряда dq в электрическом поле равна:

^*),

(Заметим в скобках, что тут нам нет необходимости беспокоиться о правильности знаков – ясно, что такая работа внешних сил осуществляется против сил поля и, конечно, положительна) Полная работа определяется суммированием элементарных работ, т.е. интегрированием:

Здесь мы временно использовали обозначение Q для предельного значения заряда конденсатора из соображений математической корректности записи, и чтобы отличать его от обозначения «промежуточного» («текущего») значения заряда 0 ≤ q ≤ Q. Эта работа и определяет энергию «запасённую» конденсатором. Используя ещё раз связь заряда конденсатора с разностью потенциалов (₁–₂) между ними Q = C·(₁–₂), можно записать энергию заряженного конденсатора в виде:

, или . (4.11)

В последнем равенстве мы для большей компактности записи заменили обозначение (₁–₂) на u. Эту величину часто называют ещё «напряжением» на конденсаторе. А вот саму энергию мы обозначили на этот раз W_e. Почему? С чем следует ассоциировать эту энергию? По нашим современным представлениям – это энергия электрического поля. Индекс «е» означает как раз, что речь идёт об электрическом поле. Сегодня мы можем утверждать это достаточно определённо, поскольку нам хорошо известны случаи, когда само поле «отделяется» от заряженных тел и, распространяясь в пространстве в виде электромагнитных волн, переносит энергию на большие расстояния, «забывая» об источнике.

Раз энергия присуща полю попробуем выразить её через характеристику самого этого поля – его напряжённость. Хотя результат (4.11) получен для любого конденсатора, используем его для электрического поля внутри плоского конденсатора. Во-первых, мы заем, что это поле однородно, а значит, существует очень простая связь разности потенциалов и напряжённости поля: ₁–₂ = E·d. Кроме того, для такого случая мы знаем выражение для электроёмкости (4.10). Получим:

, (4.12)

где V – объём конденсатора.

Однородность поля внутри плоского конденсатора позволяет, используя полученный только что результат, легко выразить ещё одну весьма полезную характеристику – так называемую объёмную плотность энергии электрического поля^*). Чуть позже мы дадим более точное определение этой величины. Пока же, для однородного поля, это просто отношение энергии поля W_e к объёму той области пространства V, в которой сосредоточено это поле:

. (4.13)

Важно, что плотность энергии нам удалось выразить через основную характеристику электрического поля. Важно ещё и то, что хотя мы получили результат (4.13) для поля однородного, он остаётся справедливым и в случае неоднородного поля. Объёмная плотность энергии – локальная характеристика поля, т.е. она относится к любой малой области пространства, в пределах которой модуль напряжённости поля равен E. Уточним понятие объёмной плотности энергии. Для общего случая выделим малый элемент неоднородного поля объёмом dV, положение которого можно задать, как обычно, радиус вектором или координатами {x,y,z}. Объёмной плотностью энергии называется отношение:

(4.14)

где dW_e – энергия, сосредоточенная в этой малой области поля. Если известна напряжённость поля как функцию координат точек электрического поля, можно рассчитать полную энергию этого поля в той или иной области пространства  конечных размеров:

,^*) (4.15)

где  – область пространства, для которой вычисляется энергия поля. Здесь мы сталкиваемся с проблемой вычисления «объёмного» интеграла, который в ряде актуальных (практически важных) случаев может быть сведён к обычному определённому. Как это делается мы, как обычно, будем отрабатывать на практических занятиях. Заметим, что соотношения (4.15) записаны для пространства с однородными электрическими свойствами, т.е. для случая  = const.