§ 4. Проводники в электростатическом поле

До сих пор обсуждались, по сути, свойства электрического поля в пространстве между заряженными телами. Правда, «авансом» мы уже декларировали, что если это пространство заполнено жидкой или газообразной непроводящей средой (позже мы скажем: «однородным и изотропным диэлектриком»), то поле уменьшается в  раз. Теперь нам предстоит заняться полем в веществе поподробнее.

Вспомним, прежде всего, что все вещества можно подразделить на те, в которых есть значительное количество «свободных» заряженных микрочастиц. Даже минимальные знания о строении вещества говорят нам, что в любом веществе есть огромное количество заряженных микрочастиц. Однако «свободные» – означает, что они могут легко перемещаться по всему объёму макроскопических тел, т.е. не связаны с каким-то отдельным атомом вещества. Такие вещества способны проводить электрический ток, поэтому они называются «проводниками». Диэлектриками же называются вещества, в которых напротив практически отсутствуют свободные заряженные микрочастицы – «носители тока». Начнём наш анализ с особенностей поведения электростатического поля в присутствии проводящих тел – проводников.

4.1 Поле заряженного проводника

Для определённости будем считать проводник металлическим. Внутри такого проводника всегда есть огромное количество свободных электронов – порядка 10²³ в каждом кубическом сантиметре! Рассмотрим, прежде всего, к чему приводит установление равновесия зарядов внутри заряженного проводника. Сформулируем основные следствия в форме отдельных утверждений.

• 1. Напряжённость электрического поля в проводниках равно нулю

Появление в любой области внутри проводника электрического поля вызовет немедленное «перетекание» свободных заряженных частиц (электронов) – электрический ток. Их пространственное перераспределение происходит ровно до тех пор, пока средняя напряжённость поля не обратится в ноль – т.е. пока поле внутри проводника не исчезнет. Отметим, что по времени всё это занимает лишь мизерные доли секунды!

• 2. Потенциал всех точек проводящего тела одинаков

Т .е. в условиях электростатики проводник является эквипотенциальным телом ( = const). Откуда это следует? Вспомним о взаимосвязи напряжённости и потенциала . Поскольку всюду внутри проводника, равен нулю и градиент потенциала. Это и означает его постоянство.

• 3. Весь избыточный заряд проводника распределён по его поверхности

Иначе говоря, полный заряд любой макроскопической области внутри проводника равен нулю. Это утверждение легко обосновать, используя теорему Гаусса. Выберем замкнутую поверхность  в виде поверхности охватывающей всю внутреннюю область проводника за исключением тонкого приповерхностного слоя (толщиной порядка 10^-9 м или 1 нм). Поскольку в любой точке внутри проводника , поток вектора напряжённости через выбранную поверхность также равен нулю: . Но ведь согласно теореме Гаусса поток пропорционален заряду внутри поверхности. Отсюда и следует равенство нулю полного заряда. Конечно, это не означает отсутствия внутри проводника заряженных частиц, просто заряд частиц разного знака точно скомпенсирован!

• 4. Вне проводника силовые линии электростатического поля вблизи от его поверхности перпендикулярны к ней

Мы ведь знаем, что линии напряжённости всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, которые они пересекают или подходят к ним. Поверхность проводника как раз и является таковой, ведь весь проводник – эквипотенциальное тело.

• 5. Напряжённость поля заряженного проводника вблизи поверхности пропорциональна поверхностной плотности заряда

Докажем прежде всего, что напряжённость поля заряженного проводника вблизи поверхности определяется поверхностной плотностью избыточного заряда . Выделим для этого малый элемент поверхности заряженного проводника и применим для него теорему Гаусса. Поскольку элемент мал, то можно считать его плоским, а плотность заряда  постоянной. Замкнутую поверхность , охватывающую элемент, удобно выбрать в виде прямого цилиндра, основания которого параллельны элементу – одно из них располагается вне тела на малом расстоянии от поверхности, а другое внутри. Поскольку вне проводника поле перпендикулярно поверхности, а внутри его просто нет, то поток вектора напряжённости вычисляется очень легко:

.

Полный заряд, оказавшийся внутри поверхности , равен, очевидно, произведению поверхностной плотности заряда  на площадь поверхности элемента . Поэтому по теореме Гаусса можем записать:

_{Отсюда после сокращения на dS получаем результат:}

(4.1)

_{Напряжённость вблизи поверхности уединённого заряженного проводника прямо пропорциональна поверхностной плотности заряда.}

_{Очевидно, эта связь имеет локальный характер и нам стоит поинтересоваться вопросом – а чем же определяется само распределение заряда по поверхности заряженного проводника?}