3.2 Потенциал системы точечных зарядов

Нетрудно показать, что для потенциала поля системы неподвижных точечных зарядов q_i справедлив принцип суперпозиции: он равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в данной точке каждым зарядом в отдельности:

(3.9)

Доказательство этого утверждения основано на двух известных нам обстоятельствах: 1) потенциал равен удельной работе по перемещению пробного заряда из данной точки поля в точку нормировки; 2) работа силы есть величина аддитивная, т.е. работа нескольких сил, действующих на тело всегда равна алгебраической сумме работ каждой из сил в отдельности (мы отмечали этот факт ещё в разделе «Механика»).

Для поля системы точечных зарядов, соответственно, можно написать:

(x,y,z) = , (3.10)

где r_i – расстояние от i-го заряда до точки поля с координатами {x,y,z}. Приведём простой пример расчёта потенциала поля, создаваемого протяжённым заряженным телом, основанного на применении принципа суперпозиции для потенциалов.

Пример. Определить потенциал электрического поля (x) на оси равномерно заряженного кольца радиуса R. Заряд кольца q, x – расстояние от центра кольца.

Повторяя частично наши действия при расчёте напряжённости для этого случая (см. п. 3.5) обнаруживаем существенные упрощения ситуации. Потенциал – величина скалярная и после разбиения кольца на малые элементы – точечные заряды q_i, остаётся лишь в соответствии с принципом суперпозиции просуммировать совершенно одинаковые величины – потенциалы поля, которое создаёт в интересующей нас точке каждый из этих зарядов (см. рис. 3.2):

.

Оставшаяся сумма даёт, конечно, полный заряд кольца q. Поэтому запишем результат окончательно:

(3.11)

Обратим внимание, что этот результат получен с математической точки зрения чрезвычайно просто именно в силу скалярного характера потенциала. Решите самостоятельно вопрос о потенциале в центре, скажем, равномерно заряженной полусферы. Вы убедитесь, что ответ может быть получен, что называется, «в уме». В то время как поиск напряжённости – математически весьма непростая задача.

3.3 Связь напряжённости электростатического поля с разностью потенциалов

Мы уже знаем, как найти разность потенциалов между любыми двумя точками электростатического поля, если силовое поле задано функцией :

. (3.6)

А можно ли наоборот, зная функцию , судить о напряжённости, т.е. рассчитывать векторное поле ?

Определим работу сил поля при малом перемещении пробного заряда q₀ двумя способами:

1. dA = q₀·E_l ·dl.

Здесь использованы хорошо нам известные соотношения:

dA = F_l dl – по определению элементарной работы силы;

F_l = q₀·E_l – по определению напряжённости;

2. dA = – q₀·d.

А здесь мы опирались на определение разности потенциалов A₁₂ = q₀·(₁  ₂). Знак “–“, объясняется тем, что d  это не что иное, как бесконечно малое приращение потенциала ^*) = (₂  ₁) = – (₁  ₂);

Выпишем равенства 1 и 2 ещё раз, как систему уравнений:

Приравнивая правые части и сокращая на q₀, получаем:

E_l ·dl = d или чуть иначе: . (3.12)

Это соотношение означает, что проекция напряжённости поля вдоль направления равна скорости изменения потенциала от точки к точке поля вдоль этого направления. Знак “–“ отражает тот факт, что напряжённость поля направлена в сторону убывания потенциала .

Поскольку направление бесконечно малого перемещения предполагалось нами произвольным, то оно может быть направлено и вдоль любой из координатных осей некоторой выбранной системы отсчёта. Например, в случае использования прямоугольной декартовой системы координат это могут быть направления осей OX, OY и OZ. Тогда получим:

. (3.13)

Здесь произошла некоторая замена в обозначениях дифференциалов и, соответственно, производных: вместо привычных « , …» появились « , …». Этим способом в математике принято обозначать так называемые «частные» производные. Они необходимы, когда мы имеем дело с функцией нескольких переменных, а не одной единственной. Если вы вспомните математическое определение производной функции , то вам станет ясно, что в случае функции нескольких переменных (x, y, z – в нашем случае), определяя предел, одной из переменных сообщается бесконечно малое приращение, в то время как остальные переменные фиксируются (считаются константами). Об этом и сигнализирует особое обозначение таких производных.

Сейчас нам придётся ещё немного потрудиться в освоении новых математических обозначений. Цепочка равенств (3.13) говорит о том, что составляющие вектора напряжённости в любой точке электростатического поля равны частным производным по координатам (в нашем случае, в декартовой системе координат). Значит, вектор можно было бы задать таким способом:

. (3.14)

Математики используют в таких случаях специальное компактное обозначение:

, (3.15)

и называют эту величину «градиент» (от лат. gradiens – рост)^*). В чём же её смысл? Градиент – вектор, имеющий компоненты и показывающий направление, в котором быстрее всего растёт некоторая скалярная величина  (в нашем случае потенциал) в данном месте. Сами компоненты вектора градиента дают скорость роста по координатным направлениям, а вот его модуль определяет скорость в направлении максимального роста  (в направлении вектора grad ). Например, в случае топографии градиент определяет направление самого крутого подъёма местности, а его модуль – наибольшую «крутизну» (скорость роста высоты) в этом же месте. Стоит помнить, что в других координатных системах, выражение для градиента будет несколько отличаться. С этим вы встретитесь и разберётесь на семинарских занятиях. А сейчас приведём пример использования установленной взаимосвязи напряжённости с градиентом потенциала.

Пример. Определить напряжённость электрического поля на оси равномерно заряженного кольца радиуса R по известной зависимости потенциала (x). Заряд кольца q, x – расстояние от центра кольца.

Вы, конечно, помните, что такую задачу мы уже решили, опираясь на принцип суперпозиции напряжённостей (см. пример в п. 3.5). А в предыдущем пункте получили мы и выражение для функции (x):

(3.11)

Чтобы найти напряжённость, используя этот результат, достаточно воспользоваться соотношением , и мы получим ответ на поставленный перед нами вопрос простым дифференцированием этой функции по координатам:

Результат, конечно, в точности совпадает с полученным ранее – (3.6).

• Заключительные замечания к §3

Зачем нам понадобилось вводить какие-то дополнительные характеристики электростатического поля? С какой стати нам понадобился потенциал? Ведь применение закон Кулона в сочетании с принципом суперпозиции позволяет рассчитать это поле по любому заданному распределению электрических зарядов в пространстве. По сути всё сводится к вычислению интеграла вида (3.11), а если повезет, то есть возможность применить более хитроумный приём – использовать теорему Гаусса.

Попробуем обосновать полезность §8 (проделанного).

1. Ещё раз подчеркнём – потенциал скалярная величина. С ней гораздо проще «работать» математически: при вычислении на основании принципа суперпозиции достаточно суммировать (интегрировать) числа, а не векторы, как в случае напряжённости. Кроме того, поскольку потенциал поля точечного заряда зависит от расстояния как 1/r, то зачастую и сами интегралы «берутся» проще, чем в случае зависимости 1/r², которая характерна для напряжённости. А, уже имея функцию (x,y,z), получить зависимость , т.е. интересующее нас векторное поле, совсем не сложно. Ведь взять производную, как вы знаете, можно от любой функции (в отличие от интеграла)!

2. Давая определение напряжённости мы, по сути, «прописали» и процедуру её измерения. Однако не существует удобных приборов для измерения напряжённости в лабораторной практике. Напротив, приборы для измерения потенциала или разности потенциалов есть и широко используются. Один из таких приборов – «пламенный зонд» позволяет определять потенциал в любой точке пространства между заряженными телами. С различными электрометрами и вольтметрами, вероятно, вы давно знакомы ещё со школы.

3. В совокупности с силовыми линиями поверхности равного потенциала («эквипотенциальные поверхности»), как мы уже говорили, позволяют наиболее наглядно представить себе структуру электростатического поля.

• Энергия взаимодействия двух точечных зарядов

  Мы уже знаем, чему равна потенциальная энергия взаимодействия точечного заряда с электростатическим полем произвольной системы зарядов (см. равенство 3.4):

U(x,y,z) = q(x,y,z). (3.11)

Поэтому для частного случая двух точечных зарядов q₁ и q₂, потенциальная энергия их взаимодействия равна:

. (3.12)

Её удобно рассматривать, как энергию взаимодействия точечного q₂ заряда с полем другого точечного q₁ заряда-источника (или наоборот). Несколько позже мы ещё обсудим вопрос об энергии электростатического поля, созданного произвольной системой покоящихся зарядов.