§4.Разные задачи на использование производной

13. Показать, что гиперболы и пересекаются под прямым углом.

Найдем точку пересечения данных гипербол:

.

Найдем угловые коэффициенты касательных в точке :

.

Так как , то прямые перпендикулярны.

14. Показать, что отрезок касательной к астроиде заключенный между осями координат, имеет постоянную длину, равную .

С оставим уравнение касательной в произвольной точке для чего найдем сначала производную в этой точке:

.

Уравнение касательной: .

Найдем координаты точек пересечения касательной с осями координат:

;

, так как точка принадлежит астроиде, то .

15. Кривая задана параметрически . Найти угол наклона касательной к кривой при .

.

16. Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону . Определить кинематическую энергию тела через 5 сек после начала движения.

, следовательно, нам нужно знать скорость движения тела через 5 сек.

17. Т очка движется в первом квадранте по кубической параболе отправляясь от точки . Какая из координат или при этом изменяется быстрее?

. Если как независимая переменная растет со скоростью , то – со скоростью , а это значит, что при растет быстрее, чем , а при растет быстрее, чем , при скорость изменения одинакова.

18. В какой точке кривой касательная параллельна прямой .

19. Профиль автомобильного моста имеет формулу параболы с осью, проходящей вертикально через середину моста, длина основания которого равна 10 м. Каким должен быть наклон насыпи на обоих концах моста?

20. Найдите углы, под которыми пересекаются данные линии: и .

21. Из пункта О по двум прямым, образующим между собой угол в , движутся два тела. Первое движется равномерно со скоростью 5 км / час, закон движения второго тела . С какой скоростью они удаляются друг от друга в момент времени ?

22. Камень, брошенный с поверхности земли вертикально вверх, движется по закону . Определите, в какие промежутки времени камень поднимается, а в какие падает вниз.

23. Точка движется по закону . Установите, остановилась ли она в пути; если остановилась, то в какой момент времени?

§5.Производные и дифференциалы высших порядков

Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка ; производная от производной  -го порядка называется производной  -го порядка .

.

24. Найти производные указанного порядка:

    1. 

.

2. 

;

.

3. 

.

Докажем угаданную формулу методом математической индукции, для чего достаточно из предположения справедливости формулы для доказать ее справедливость для :

.

Для формула справедлива, следовательно, она справедлива для любого натурального числа .

.

25. . Доказать, что .

Вычислим указанные производные и подставим в левую часть данного уравнения:

;

.

.

26. Вычислить указанные дифференциалы:

    1. 

.

2. 

;

.

27. Найти производные указанного порядка:

28. Доказать, что функция удовлетворяет соотношению .

29. Найти указанные дифференциалы:

    1. 

    2. 

    3. 

    4.