Задание для самостоятельной работы

1. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения u_t = (1/a) u_xx , 0 < x < 1, 0 < t <0.02, удовлетворяющее условиям u(0,t) =e ^at , u(1,t) = e ^{a (t -1)}, 0 < t < 0.02; u(x,0) = e^{- ax} , 0 < x < 1;  a = 2 + 0.3 k, k = - 4.

а) по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < ah²/2;

б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.

Сравнить полученные решения.

2. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (1 + ax)⁴ – 12 a ² t(1 +ax)², 0 < x < 1, 0 < t < 0.1;  u(0,t) =t, u(1,t) = t (1 + a)⁴, 0 < t < 0.1; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a =

3. Найти решение задачи u_t = u_xx + (4x/(x ² + 2t + 1)) u_x , 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(2t +1), u(1,t) = 1/(2(t + 1)), 0 < t; u(x,0) = 1/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.1) с точностью e = 0.005.

4. Найти решение задачи u_t = u_xx + (4x/(x ² + t + 1)) u_x + x/(x ² + t + 1)², 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 0, u(1,t) = 1/(t + 2),  0 < t; u(x,0) = x/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.4) с точностью e = 0.01.

5. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (-a ² t + 1)e^-ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u(0,t) =t, u(1,t) = t e^-a , 0 < t < 0.01; u(x,0) = 0, 0 < x < 1;  a= 0.5 k,  k = 2 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !u_tt ! < 0.02, !u_xxxx ! < 6.

6. Найти решение задачи u_t = (1/2) u_xx - 4x ²/(x ² + t + 1)³, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(t + 1), u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t;  u(x,0) = 1/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.3) с точностью e = 0.005.

7. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения u_t = (1/a) u_xx , 0 < x < 1, 0 < t < 0.02, удовлетворяющее условиям u(0,t) =e ^at , u(1,t) = e ^{a ( t -1)}, 0 < t < 0.02; u(x,0) = e^{- ax} , 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = 4:

а) по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < ah²/2;

б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.

Сравнить полученные решения.

8. Найти решение задачи u_t = u_xx + (4x/(x ² + t + 1)) u_x, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(2t + 1), u(1,t) = 1/(2(t + 1)), 0 < t; u(x,0) = 1/(x ² + 0.1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.2) с точностью e = 0.005.

9. Найти решение задачи u_t = (1/2) u_xx + 4x ²/(x ² + t + 1)³, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(t + 1), u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = 1/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.2) с точностью e = 0.005.

10. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (-a ² t + 1)e^-ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u(0,t) =t, u(1,t) = t e^-a , 0 < t < 0.01; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 4 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !u_tt ! < 0.02, !u_xxxx ! < 6.

11. Найти решение задачи u_t = u_xx + (4x/(x ² + t + 1)) u_x + x/(x ² + t + 1)², 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 0, u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = x/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.3) с точностью e = 0.01.

12. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (1 + ax)⁴ – 12 a ² t (1 +ax)², 0 < x < 1, 0 < t < 0.1; u(0,t) =t, u(1,t) = t (1 + a)⁴, 0 < t < 0.1; u(x,0) = 0, 0 < x < 1;  a = 1 + 0.4 k,  k = 4 при   t = 0.01 с точностью 0.001, если !u_tt ! < 0.02, !u_xxxx ! < 6.

13. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения u_t = (1/a) u_xx , 0 < x < 1, 0 < t <0.02, удовлетворяющее условиям u(0,t) =e ^at , u(1,t) = e ^{a (t -1)}, 0 < t < 0.02, u(x,0) = e^{- ax} , 0 < x < 1;  a = 2 + 0.3 k, k = - 2:

а)по явной разностной схеме, взяв h = 0.1,  t < ah²/2;

б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1,  t = 0.02.

Сравнить полученные решения.

14. Найти решение задачи u_t = (1/2) u_xx + 4x ²/(x ² + t + 1)³, 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(t + 1), u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = 1/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.1) с точностью e = 0.005.

15. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (-a ² t + 1)e^-ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u(0,t) =t, u(1,t) = t e^-a , 0 < t < 0.01; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 6 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !u_tt ! < 0.02, !u_xxxx ! < 6.

16. Найти решение задачи u_t = u_xx + (4x/(x ² + t + 1)) u_x , 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 1/(2t + 1), u(1,t) = 1/(2(t + 1)), 0 < t; u(x,0) = 1/(x ² + 0.1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.3) с точностью e = 0.005.

17. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (1 + ax)⁴ – 12 a ² t(1 +ax)², 0 < x < 1, 0 < t < 0.1; u(0,t) =t, u(1,t) = t (1 + a)⁴, 0 < t < 0.1; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 1 + 0.4 k, k = 3 при t = 0.01 с точностью 0.001, если !u_tt ! < 0.02, !u_xxxx ! < 6.

18. Найти решение задачи u_t = u_xx + (4x/(x ² + t + 1)) u_x + x/(x ² + t + 1)², 0 < x < 1, 0 < t; u(0,t) = 0, u(1,t) = 1/(t + 2), 0 < t; u(x,0) = x/(x ² + 1), 0 < x < 1 в точках (x_m, T) x_m = 0.1m (m = 1 – 10, T = 0.2) с точностью e = 0.01.

19. Найти для x = 0.1m, m=0 – 10, t=0.02 решение уравнения u_t = (1/a) u_xx , 0 < x < 1, 0 < t <0.02, удовлетворяющее условиям u(0,t) =e ^at , u(1,t) = e ^{a (t -1)}, 0 < t < 0.02; u(x,0) = e^{- ax} , 0 < x < 1; a = 2 + 0.3 k, k = 3:

а) по явной разностной схеме, взяв h = 0.1, t < ah²/2;

б) по неявной разностной схеме, взяв h = 0.1, t = 0.02.

Сравнить полученные решения.

20. Используя метод сеток, найти u(x, t) – решение задачи u_t = u_xx + (-a ² t + 1)e^-ax , 0 < x < 1, 0 < t < 0.01; u(0,t) =t, u(1,t) = t e^-a , 0 < t < 0.01; u(x,0) = 0, 0 < x < 1; a = 0.5 k, k = 1 при t = 0.01 с точностью 0.001, если ½u_tt ê < 0.02, ½u_xxxx ê < 6.