МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и науки РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Технологический институт
Южного федерального университета в г. Таганроге
С.А. Синютин
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
Работа выполнена на кафедре "Микропроцессорные системы" при реализации приоритетного национального проекта "Образование"
Таганрог 2007
УДК 681.326-3
Синютин С.А. Вычислительная математика (Часть 2). Учебное пособие. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2007. – 71 с.
Работа выполнена в рамках приоритетного национального проекта "Образование" на кафедре "Микропроцессорные системы" ТТИ ЮФУ при реализации образовательного проекта «Разработка образовательных контентов и ресурсов нового поколения для подготовки высококвалифицированных кадров, ориентированных на проектирование интеллектуальных микропроцессорных модулей и построение на их основе высокопроизводительных локальных и распределенных информационных систем мониторинга и диагностики».
В пособии рассматриваются математические методы и алгоритмы, применяющиеся во многих инженерных приложениях. В работе изучаются основные алгоритмы численного интегрирования, дифференцирования, решения обыкновенных и дифференциальных уравнений и систем уравнений.
Работа содержит примеры, иллюстрирующие, как данные концепции используются при инженерном проектировании.
Учебное пособие предназначено для студентов дневной и безотрывной форм обучения специальностей 230201 «Информационные системы и технологии» и 210106 «Промышленная электроника».
Табл. 17 Ил. 28. Библиогр.: 20 назв.
ISBN
Технологический
институт Южного
федерального университета, 2007
Синютин С.А., 2007
Содержание
6 Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами 5
6.1 Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу 5
6.2 Метод Холецкого 7
6.3 Метод прогонки 8
Задание для самостоятельной работы 10
Вопросы 10
7 Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами 11
7.1 Метод Якоби 11
7.2 Метод Зейделя 12
7.3 Метод простой итерации. 13
Задание для самостоятельной работы 14
Вопросы 14
8 Приближение функций 15
8.1 Постановка задачи приближения функции по методу наименьших квадратов 15
8.2 Определение параметров эмпирической зависимости 17
8.3 Многочлены Бернштейна 18
Задание для самостоятельной работы 19
Вопросы 20
9 Интерполяция функций 21
9.1 Постановка задачи интерполяции функций 21
9.2 Оценка погрешности интерполяции 22
Задание для самостоятельной работы 24
Вопросы 24
10 Интерполяция сплайнами 25
10.1 Глобальная и кусочно-полиномиальная интерполяция 25
10.2 Интерполяция сплайнами 28
Задание для самостоятельной работы 30
Вопросы 31
11 Численное дифференцирование 32
11.1 Первая производная. Двухточечные методы 32
11.2 Вычисление первых производных по трёхточечным схемам 34
11.3 Вычисление производных второго порядка 34
11.4 Вычисление производных третьего порядка 36
Задание для самостоятельной работы 36
12 Численное интегрирование 38
Задание для самостоятельной работы 41
13 Решение задачи Коши одношаговыми методами 43
13.1 Постановка задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка 43
13.2 Численное решение задачи Коши методом Эйлера 43
13.3 Оценка погрешности метода Эйлера 44
13.4 Модификации метода Эйлера 46
Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера. 46
Задание для самостоятельной работы 47
Вопросы 47
14 Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений 48
Задание для самостоятельной работы 51
Варианты заданий 51
15 Преобразование Фурье 54
15.1 Аппроксимация функции по Фурье 54
16 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 58
16.1 Уравнение Лапласа (эллиптическое уравнение) 58
17 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ (продолжение) 63
17.1 Уравнение теплопроводности (параболическое уравнение) 63
Задание для самостоятельной работы 66
6 Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами
Метод решения задачи называют прямым, если он позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций. Метод решения задачи называют итерационным, если в результате получают бесконечную последовательность приближений к решению. Если эта последовательность сходится к решению задачи, то говорят, что итерационный процесс сходится. К прямым методам решения относятся метод Гаусса и его модификации, метод Холецкого и метод прогонки.
В методе Гаусса для вычисления масштабирующих множителей требуется делить на ведущие элементы каждого шага. Если элемент равен нулю или близок к нулю, то возможен неконтролируемый рост погрешности.
Поэтому часто применяют модификации метода Гаусса, обладающие лучшими вычислительными свойствами.