Сущность понятия «доказательства». Методы доказательства теорем.

Рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения есть доказательство. Существуют различные методы доказательства теорем. Под методом доказательства будем понимать способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения.

Методы доказательства: прямые(синтетические – от условия к заключению, аналитические – метод восходящего анализа, метод нисходящего анализа) и косвенные(от противного).

Описательная форма док-ва

1)в виде цепочки рассуждений; 2)цепочка последовательных предложений.

Блочная форма до-ва (блок-схемы)

Док-ва бывают прямые (синтетические и аналитические: метод восходящего анализа и метод нисходящего анализа) и косвенные (от противного).

Примеры: 1) цепочка последовательных предложений.

O

B C

OO

А D

предложение	На основании чего
< АOD=<BOC	Свойство вертикальных углов
АО=ОС, ВО=ОD	По условию
Треуг.АOD=треуг.BOC	Пункты 1и 2, первый признак равенства треуг.
< ОАD=<OCВ	П.3 и опр. равных треуг.
АD||ВС	Признак параллельности прямых
АВ||CD	Признак параллельности прямых
ABCD - параллелограмм	П.5-6 и опр. параллелограмма

Оформление в школе:

1)ΔAOD=ΔBOC (по первому признаку равенства треугольников, т.к. <AOD=<BOC, AO=OC, OD=BO по условию) => 2) <OAD=<OCB (<OAD и <OCB – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и CB и секущей АС) => 3) раз эти прямые параллельны, имеем AB||CD (аналогично) из ΔAOB и ΔСOB). 4) имеем AD||CB, AB||CD => ABCD – параллелограмм(по опр.).

7.Задачи в школьном курсе математики

Задача – это словесная модель заданной ситуации. (по Фридману)

Учебная задача – это цель, кот. ставится перед уч-ся в форме проблемной ситуации.

Задача – понятие неопределяемое, и в самом широком смысле означает то, что требует исполнения решения. В каждой задаче имеется условие – то, что дано, и требование – то, что надо найти, доказать, обосновать. Решить задачу – это значит выполнить ее требования.

Роль задач: 1) задачи как предмет, 2) задачи как средство.

Функции задач: 1)задачи с дидактическими функциями(задачи, используемые перед творческим материалом для облегчения его введения, задачи на применение изучаемой теории), 2)задачи с познавательными функциями(содержат новую информацию для учащихся, задачи на движение, задачи на совместную работу, задачи на %, более сложные задачи на закрепление и усвоение материала), 3)задачи с развивающими функциями (олимпиадные задачи).

Этапа решения задач (схема Пойя):

1.Необходимо показать условие задачи, понять (понимание постановки задачи),

2)поиск решения (составление плана решения),

3)Реализация плана (осуществление плана решения),

4)взгляд назад (изучение полученного решения).

Общее умение решать задачи складывается:

- из знаний о задачах, структуре задач, процессе решения и этапах решения, методах, способах и приемах решения;

- из умений выполнять каждый из этапов решения любым из приемов, помогающих решению.

При формировании у детей умения решать задачи определенных видов предметом изучения и основным содержанием обучения являются виды задач, способы и образцы решения задач конкретных видов. Необходимо формирование обоих типов умений. Это возможно при сочетании трех линий в содержании и организации деятельности учащихся:

- накопление опыта решения разнообразных задач как с осознанием процесса и способа решения, так и без такого осознания, на интуитивной основе;

- овладение компонентами общего умения решать задачи в специально организованной для этого деятельности;

- выработка умения решать все виды простых задач

Обучение решению задач осуществляется по схеме: от накопления опыта решения разнообразных задач к обучению общим приемам и методам, а от них - к овладению способами решения конкретных видов задач.

Общие методы решения математических задач. План решения задачи: 1)необходимо понять условия задачи (понимание постановки задачи), 2)поиск решения (составление плана решения). 3)реализация плана (осущ. плана), 4)взгляд назад (проверка).

В методической лит-ре выделяют стандартные(в зависимости от ф-ций шаблонные и нешаблонные) и нестандартные задачи, нестандартные и нешаблонные задачи образуют группу творческих задач.

Классификация задач:

По характеру требования: - задачи на доказательство; - задачи на построение; - задачи на вычисление.

По функциональному назначению (К.И. Нешков, А.Д. Семушин): - задачи с дидактическими функциями; - задачи с познавательными функциями; - задачи с развивающими функциями.

По величине проблемности (У. Рейтман, Ю.М. Колягин): - стандартные (известны все компоненты задачи); - обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи); - поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи); - проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи). При условии, какие компонентах задачи ( А - условие, В - заключение , К - решение , С - базис решения задачи)

По числу объектов в условии задачи и связей между ними: простые; сложные.

По компонентам учебной деятельности: организационно-действенные; стимулирующие; контрольно-оценочные.

Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.

Задачи: алгебраические, арифметические, геометрические (на построение, на док-во, на вычисление).

Текстовые задачи:

1.Задачи на движение (определение пути пройденного телом; определение времени движения тела, определение скорости):

* Движение навстречу друг другу (нахождение пути)

* Движение на сближение (нахождение скорости сближения двух тел)

* Движение в одну сторону (нахождение скорости удаления двух тел)

* На удаление тел * Движение по воде * По кругу

2.Задачи на работу (определение производительности труда при совместной работе; определение части работы, выполненной в течении некоторого промежутка времени)

• С фиксированным объемом работы

• С изменяющимся объемом работы

3.Задачи на бассейны 4. Задачи на проценты 5.Задачи на сплавы

6. Задачи на растворы и смеси 7. Задачи на расчет начислений банка на вклады

8Задачи на составление пропорций 9.Задачи на числовую зависимость

10.Задачи на составление систем уравнений

11.Задачи с геометрическим содержанием (нахождение длины, площади)

12.Логические задачи, решаемые с помощью таблиц и графов.

Роль алгоритмов и эвристик. Существуют алгоритмы (специальные методы) решения многих математических задач определённых типов. Точное выполнение алгоритма приведёт к решению любой задачи определённого класса.

Задачи, принадлежащие классам, имеющим алгоритм решения, называются типовыми.

Схема решения задачи на вычисление: 1)построить чертёж. 2)обозначить одну из искомых величин через х, 3) выразить через х неизвестные величины, 4)составить и решить уравнение, 5)проверить ответ и записать его.

Эвристика – это методы и способы, связанные с улучшением эффективности системы (человека или машины). Суть метода – учитель ставит маленькие проблемные ситуации по этой задаче, ученик их самостоятельно решает.

Организация обучения решению матем. задач

I.Фронтальное решение задачи (решение одной задачи одновременно всеми учащимися класса): 1)устное фронтальное решение задачи, 2)письменное решение задачи с записью на доске, 3) письменное самостоятельное решение задачи, 4)комментированное решение задачи с записью под диктовку.

II.Индивидуальное решение задач: 1) самостоятельная работа. 2)домашнее задание.

III.Заключительный этап решения задачи: 1)обсуждение условия задачи, 2)обсуждение идеи решения задачи (поиск решения), 3)поиск различных способов решения (обсуждение, сравнение, выбор), 4)вывод после решения (методы, особенности данной задачи).