6.Методика изучения математических предложений

Математическое суждение – эта такая форма выражения мысли, которая представляет собой утверждение или отрицание наличия у предмета или объекта некоторых свойств, связи между ними.

Математические суждения образуются 2-мя способами: непосредственно (как результат восприятия), опосредовано (как результат умозаключения).

Восприятие – существует в сознании человека в то время, когда какие-либо объекты или явления взаимодействуют на его органы чувств.

Умозаключение – процесс получения нового суждения – вывода из одного или нескольких данных суждений.

Рассуждение – это процесс мышления, направленный на доказательство наличия некоторого суждения или его отрицания, получение некоторого вывода из нескольких посылок. Каждое суждение обладает следующими свойствами: 1) утверждает или отрицает; 2) истинное или ложное.

Большинство математических суждений можно записать в условной форме, т.е. в виде если а, то в. Например. Вертикальные углы равны. Если углы вертикальные, то они равны.

Предложение – это средство для выражения суждений. Всякое предложение выражает суждение, всякое суждение выражает предложение, но не всякое предложение есть суждение.

Логическое предложение, выражающее суждение о математических объектах, называется математическим предложением.

Виды математических суждений:

1)аксиома (предложение, принимаемое без док-ва) – А1.Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. А2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

2)постулат (предложение, в котором выражено некоторое требование, которому должны удовлетворять некоторые понятия или некоторые отношения между понятиями) - 1. Через любые две данные точки можно провести прямую. 2. Прямая может быть продолжена бесконечно или же ограничена в любой своей точке. 3. Окружность может быть описана вокруг любой данной точки как центра и с любым радиусом. 4. Все прямые углы равны. 5. две прямые, которые при пересечении с третьей образуют с ней по одну сторону внутренние углы, в сумме меньшие двух прямых, при продолжении в ту же сторону пересекались.

3)теорема (математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства), Т1.Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Т2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Т3. Вертикальные углы равны.

4)лемма (вспомогательная теорема, используемая для док-ва самой теоремы) - Лемма 1.1. Если точки O, A, B, C лежат на прямой a, причем точка A лежит между точками O и B, а точка B лежит между точками O и C, то точки A, B и C лежат по одну сторону от точки O.

Высказывание p называется необходимым условием для q, если импликация есть истинное следствие. p ->q 

Например, чтобы число делилось на 6, необходимо (не недостаточно), чтобы оно было чётным.(p - четное число, q - число кратно 6)

Высказывание p называется достаточным условием для q, если импликация есть истинное следствие. q - >p

Например, чтобы число было кратно 5, достаточно, чтобы оно было кратно 25. (р: кратно 25; q: кратно 5)

Условие р называется необходимым и достаточным для q, если истины одновременно обе импликации: (p->q) и (q->p), т.е. имеет место эквивалентность.

Структура теорем. Виды теорем. Методика изучения теорем в школьном курсе математики.

Теорема –это предложение, истинность кот. устанавливается посредством док-ва. Следствие –это маленькая теор.с коротким док-вом, исп. в своих рассужд-ях и операющимся на только что доказанную теор. Лемма-вспомогат. теор, исп-мая для док-ва самой теор. Каждая теор. содержит условие и заключение, разъяснительная часть.

Структура:формулировка теор. может быть дана или в условной форме(в виде импликации если…, то…Преимущества: разграничивает усл. И заключ., что не всегда очевидно для учащихся) или в категоричной форме(преимущества:краткость, убедительность,наиболее часто встреч. В шк. Учебн.)

Виды теорем:

1) Из А следует Б. (a=>b) -прямое утверждение. (теорема пифагора)

2) Из Б следует А. (b=>a) - обратное утверждение . (1 и 2 наз взаимнообратными)

3) Из не А следует не Б. ( ) противоположное утверждение.(1 и 3-взаимнопротивоположные)

4) Из не Б следует не А. ( )-обратное противопол. Или противопол. Обратному.

4)эквивалентные утверждения

Пары предлож. 1и 4, 2и 3-одноврем истинны или ложны. Иногда все 4 м.б. истинны, т.е. явл. теор.(теорю Пифагора)

Этапы изучения теоремы учащимися

1)Мотивация изучения, 2)Ознакомление с фактом, отраженным в теореме, 3)Формулировка теоремы, 4)Усвоение содержания теоремы, ее структуры. 5)Ознакомление со способом доказательства, 6)Доказательство теоремы, 7)Применение теоремы, 8)Установление связи с другими теоремами

Методы введения теоремы

-конкретно индуктивный(теор. в готовом виде не сообщ-ся, должна быть проведена работа для подвед. Учащ-ся к теор. об обнаруж. Соотв. Закономерностей.

-абстрактно дедуктивный : сначала учитель формулирует теорр, потом проводится работа по уточнению смысла данной теор. , её усл. И заключ. , построение чертежа и т. д.

Виды формулировок теорем:категорическая и условная (импликативная).

Примеры. 1. Теорема "Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят его углы пополам, то этот параллелограмм - ромб" имеет структуру АV В =>C, где А - "диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны"; В - "(диагонали параллелограмма) делят его углы пополам"; С - "этот параллелограмм - ромб".