13. Абагульненне паняцця ступені ў школьным курсе матэматыкі

Теоретический материал распределён по трём классам: 7, 8, 11 классы. Хотя в качестве пропедевтики понятия квадрат и куб числа вводятся раньше.

Последовательность изучения данного материала:

1. Степень с натуральным показателем – 7 кл

2. Степень с целым показателем – 8 кл

3. Степень с иррациональным и рациональным показателем – 11 кл

Методическая схема изучения степени с натуральным показателем. 7 кл

1.Вводится определение : «степенью числа а с натуральным показателем n, n >1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а, степенью числа а с показателем 1 называется само число а». Вводится обозначение для этого понятия аⁿ. Учителю следует иметь в виду, что ученики путают понятия «показатель степени» и «основание», поэтому следует специально уделить внимание. Одновременно даётся определение: «нахождение значения степени называется возведением в степень».

2. Далее рассматриваются действия над степенями – умножение и деление.

Для выведения правили умножения степеней сначала рассматривается пример:

a²·a³=(a·a)·(a·a·a)=a·a·a·a·a=a⁵, получаем a²·a³=a²⁺³=a⁵

Делается теоретическое обобщение a^m·aⁿ=a^m+n, в общем виде:

a^m·aⁿ=(a· ….·a)·(a· … ·a)=a·a·…·a=a^m+n

m раз n раз m+n раз

Говорится, что полученное равенство выражает основное свойство степеней и формулируется правило: «при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели складываются».

Правило деления следующее: «для любого основания а, не равного нулю, и любых натуральных чисел m и n, таких что m>n a^m/aⁿ=a^m-n».

Доказательство этого равенства основывается на определении частного двух натуральных чисел и схема его такова: данное равенство будет доказано, если мы установим, что a^m-n·aⁿ=a^m (можно доказать на основании правила умножения).

3. Вводится определение степени с нулевым показателем. Формулировке этого правила предшествуют следующие рассуждения: «мы выведем правило деления для случая m>n; если это правило применить для a^m/aⁿ=1, то считается, что а не равно нулю, а⁰=1». Здесь следует уделить внимание, что а⁰=1 (а≠0) – определение, а не доказательство. И доказать не возможно, т.к. ранее степень с нулевым показателем не рассматривается.

4. Рассмотрим правило возведения в степень произведения и частного, а также возведение степени в степень:

а) (ab)ⁿ=aⁿbⁿ, (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ; (можно обобщать для трех и более произведений)

b) (a^m)ⁿ=a^mn

Доказательство осуществляется по той же схеме, что и доказательство правил умножения и деления степеней.

8 кл. На следующем этапе (8 кл) вводится понятие степени с целым показателем. Методическая схема:

а) в справочной литературе можно найти такие данные, что масса Солнца 1,985·10³³, масса водорода 1,67·10^-24. Запись 10³³ означает произведение 33-ех десятков. Но как понимать 10^-24?

б) выписывают последовательность 10⁰, 10¹ …,10⁵, … - в этой последовательности каждое предыдущее число меньше последующего в 10 раз. Продолжая эту последовательность по этому же закону влево перед 10⁰ надо записать 1/10 =1/10¹, перед числом 1/10¹ число 1/100 или 1/10², пред числом 1/10² число 1/10³ и т.д. Получим:

…, 1/10³,1/10², 1/10¹,10⁰, 10¹,10²,…

Заметим, что справа от 10⁰ показатель каждой предыдущей степени на 1 меньше показателя следующей степени. Распространим этот закон на числа, которые стоят слева от 10⁰, их запишем в виде степени числа 10 с отрицательным показателем: 1¹/10¹=10^-1 и т.д. Далее этот факт обобщается в следующее определение: «если а не равно 0 и n- целое отрицательное число, то aⁿ=1/a^-n». Учителю целесообразно иметь в виду, что эту формулу можно преобразовать a^-n=1/aⁿ.

6. Рассматриваются свойства степеней с целым показателем. Констатируется, что известные учащимся свойства степени с натуральным показателем справедливо также и для степени с любым целым показателем (при условии, что основание степени не равно нулю в случае деления).

В качестве примера доказательства соответствующих формул приводится доказательство лишь одной формулы – основного правила умножения степеней для случая отрицательных показателей: k и p – целые положительные числа,

a^-k·a^-p=1/a^k·1/a^p=1/a^k+p=a^-(k+p)=a^-k-p=a^-k+(-p).

7. Понятие степени с рациональным показателем.

А) констатируют, что ученикам известно понятие степени с целым показателем и её свойства, приводятся соответствующие формулы, сообщается, что на данном этапе будет освящено понятие степени числа, где будет придан смысл выражениям типа 8^5/7, 4^-1/2, 2^0,3 и т.д. Естественно при этом необходимо сформулировать определение так, чтобы степени с рациональным показателем обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью), что и степени с целым показателями. В частности: n-ая степень числа a^m/n должна быть равна a^m (т.е. здесь должно выполняться правило (a^p)^q=a^pq).

Соответственно в этом случае (по определению корня n-ой степени) число a^m/n должно быть корнем n-ой степени из числа a^m, т.е. уместно следующее определение: «степенью положительного числа а с рациональным показателем m/n , где m- целое, n- натуральное и больше 1, называется число ….(корень n-ой степени из числа a^m), a^m/n=….(корень n-ой степени из числа a^m)». Специально замечаем, что при а<0 рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Т.К. если бы допускалось, что а<0, то, например, значение выражения (-8)^1/3 равнялось бы ….(корень 3-ей степени из числа -8)=-2; однако с другой стороны мы получили бы противоречие. Действительно: 1/3=2/6, тогда (-8)^1/3=(-8)^2/6=

….(корень 6-ой степени из числа (-8)²)=….(корень 6-ой степени из числа 64)= ….(корень 6-ой степени из числа 2⁶)=2

Б) Далее доказывается, что для сформулированной степени с рациональным показателем сохраняются её остальные свойства степеней, сформулированные ранее для целых показателей (при условии лишь положительного основания).

8. 11 кл На этом этапе вводится понятие степени с иррациональным показателем. Это понятие рассматривается в связи с введением показательной функции.

А) Говорится: «зафиксируем положительное число а и поставим в соответствие каждому числу x=m/n число a^m/n; тем самым получим функцию f(x)=a^m/n, определённую на множестве Q и обладающую перечисленными ранее свойствами степеней с рациональным показателем»

Б) Далее строятся графики функций f(x)=(1/2)^x на [-2;3], предварительно вычислив значения этих функций с помощью калькулятора с шагом ¼, затем 1/8.

В) после построения графиков делается вывод: эти наблюдения показывают, что можно так определить числа 2^α и (1/2)^α для каждого иррационального α, что функции, задаваемые формулами f(x)=2^x, f(x)=(1/2)^x будут непрерывными, причём еще так, что функция f(x)=2^x будет возрастать, а f(x)=(1/2)^x убывать на всей числовой прямой. Для экономии времени урока целесообразно все значения функции f(x)=2^x и f(x)=(1/2)^x с шагом ¼ и 1/8 на [-2;3] вычислить заранее и свести на отдельный плакат, его продемонстрировать во время объяснения материала.