21. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Пусть f – линейный оператор пространства Vn, а A и B – его матрицы соответственно в базисах

E = (e1, e2, . . . , en) (12.10)

EƘ = (e’1, e’2, . . . , e'n).

Пусть вектор x линейного пространства Vn имеет координатный столбец X = в базисе (12.10) и координатный столбец X’ = в базисе (12.11). Пусть далее вектор y = f(x), который является образом вектора x при отображении f, имеет координатный столбец Y = в базисе (12.10), а в базисе (12.11) – Y ‘ = -> Y = AX, (12.12) Y ‘ = BX'.

С другой стороны, учитывая, что S-матрица перехода от базиса (12.10) к базису (12.11)

X = SX’, (12.14)

Y = SY’. (12.15)

Умножив равенство (12.14) слева на матрицу A, получим AX = ASX’ или учитывая (12.12) и (12.15), получаем

SY’ = ASX’. Отсюда Y’ = S−1ASX’. Сравнивая последнее равенство с (12.13), имеем B = S⁻¹AS. (12.16)

Таким образом, если матрица A – матрица оператора f в базисе (12.10), а S – матрица перехода от базиса (12.10) к базису (12.11), то матрица B оператора f в базисе (12.11) может быть найдена из соотношения (12.16).

Верно обратное. Пусть A – матрица линейного оператора f в базисе (12.10), S – произвольная невырожденная матрица и такая, что B = S−1AS. Если (12.11) – такой базис пространства Vn, что S – матрица перехода от (12.10) к (12.11), то в силу формулы (12.16) матрица B – матрица оператора f в базисе (12.11).

Отсюда получаем теорему.

Теорема 12.5. Две квадратные матрицы A и B n-го порядка тогда и только тогда являются матрицами некоторого линейного оператора f пространства Vn, когда существует невырожденная матрица S n-го порядка, такая, что выполняется равенство B = S−1AS.

Следствие 12.5.1. Если линейный оператор имеет в некотором базисе невырожденную матрицу, то и в любом другом базисе матрица этого оператора является невырожденной.

22. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическая матрица и характеристический многочлен.

Ненулевой вектор u ∈ V_n называется собственным вектором линейного оператора f, если существует число λ∈P такое, что выполняется равенство f(u) = λu.

Число λ называется собственным значением (собственным числом) оператора f.

Множество всех собственных значений оператора f называется спектром этого оператора.

Свойства собственных векторов

Свойство 1. Каждому собственному вектору линейного оператора соответствует единственное собственное значение.

Свойство 2. Если u – собственный вектор линейного оператора f с собственным значением λ и α – любое отличное от нуля число, то αu – также собственный вектор оператора f с собственным значением λ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f(u) = λu, то отсюда следует, что f(αu) = αf(u) = αλu = λ(αu).

Свойство 3. Если u₁,u₂ собственные векторы линейного оператора f с одним и тем же собственным значением λ,тоu₁+u₂ –либо нулевой вектор либо также собственный вектор этого оператора с собственным значением λ.

Свойство 4. Собственные векторы линейного оператора, соответствующие разным собственным значениям, линейно независимы.

Линейный оператор в пространстве V_n называется оператором простой структуры, если в пространстве V_n существует базис из собственных векторов этого оператора.

Теорема 12.9 (критерий оператора простой структуры). Линейный оператор f пространства V_n является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда в некотором базисе этого пространства матрица оператора f является диагональной.

Матрица (A − λEn) называется характеристической матрицей линейного оператора f (матрицы A).

Многочлен ϕ(λ) = det(A − λEn) называется характеристическим многочленом оператора f (характеристическим многочленом матрицы A). Иногда характеристическим многочленом называют многочлен ϕ(λ)=det(λEn − A).

Уравнение det(A − λEn) = 0 называется характеристическим уравнением оператора f (характеристическим уравнением матрицы A). Корни характеристического уравнения над множеством C (C – множество комплексных чисел) называются характеристическими числами оператора f (матрицы A).

Свойство 1. Характеристический многочлен полураспавшейся матрицы равен произведению характеристических многочленов ее диагональных клеток.

Свойство 2. Характеристические многочлены подобных матриц равны.