2.2. Полученные результаты

С помощью работы программы, листинг которой приведен в приложении 1, точность была достигнута при шаге h=0.01, количество разбиений отрезка [1.4; 1.8] равно 40, максимальная погрешность равна 1.42e-006, что меньше заданной точности, следовательно, проверка точности выполнена и полученная точность удовлетворяет заданной, задача выполнена.

При решении данного дифференциального уравнения второго порядка с заданными краевыми условиями (1.3) методом сведения к задаче Коши и последующим её решением методом Рунге-Кутта, были получены следующие результаты, представленные в таблице 1.

Таблица 1.

N	X	Y(X)	Delta
0	1.40	-3.000000	0.0e+000
1	1.42	-2.387642	4.11e-007
2	1.44	-1.839184	7.39e-007
3	1.46	-1.348713	9.92e-007
4	1.48	-0.910773	1.18e-006
5	1.50	-0.520343	1.31e-006
6	1.52	-0.172809	1.39e-006
7	1.54	0.136057	1.42e-006
8	1.56	0.410126	1.42e-006
9	1.58	0.652934	1.38e-006
10	1.60	0.867704	1.32e-006
11	1.62	1.057366	1.23e-006
12	1.64	1.224584	1.13e-006
13	1.66	1.371770	1.01e-006
14	1.68	1.501108	8.79e-007
15	1.70	1.614570	7.40e-007
16	1.72	1.713933	5.95e-007
17	1.74	1.800794	4.47e-007
18	1.76	1.876591	2.98e-007
19	1.78	1.942609	1.48e-007
20	1.80	2.000000	0.0е+000

В столбце Х приведено разбиение отрезка [1.4; 1.8] с шагом h = 0.02, в столбце Y(X) – значение функции (n=0,…,20) в соответствующих точках , в столбце eps – значения найденных абсолютных погрешностей.

Точность решений определялась из условия, что норма модуля разности более точного решения и приближенного должна быть меньше заданной точности.

3. Метод конечных разностей

3.1. Описание метода

Метод конечных разностей - широко известный и простейший метод  интерполяци. Его суть заключается в замене дифференциальных коэффициентов уравнения на разностные коэффициенты, что позволяет свести решение дифференциального уравнения к решению его разностного аналога, то есть построить его конечно-разностную схему, состоящую из конечно-разностных уравнений. А решение последних соответствует приближённому решению первоначального дифференциального уравнения, с достаточно высокой точностью.

Решим дифференциальное уравнение (1.1) с краевыми условиями (1.2) методом конечных разностей. Для того чтобы получить систему конечно-разностных уравнений, разобьем отрезок [a,b] на n равных частей длины как показано на рисунке 1. Точки разбиения имеют абсциссы:

(i=0,1,2,…,n), .

Рис. 1

Значения в точках искомой функции y=y(x) и ее производных обозначим соответственно: y_i, y^'_i, y^”_i.

Введем также обозначения: .

Чтобы найти y_i заменим производные симметричными конечно-разностными отношениями для внутренних точек отрезка [a, b]. Тогда будем иметь:

(i=1,2,…,n-1) (3.1)

где - погрешность формулы порядка .

Подставим конечно-разностные выражения (3.1) в исходное дифференциальное уравнение (1.1). В результате подстановки получим:

(3.2)

Или запишем выражение (3.2) в виде:

, (i=1,2,...,n-1), (3.3)

где

Так как всего n+1 неизвестных на отрезке [a, b], а уравнений n-1, то не хватает еще двух уравнений для нахождения всех (i=0,1,…,n). Эти недостающие уравнения дают краевые условия (1.2). По условию курсовой работы , , поэтому система (1.2) принимает вид:

С учетом этого запишем систему линейных алгебраических уравнений:

, где (i=1,2,...,n-1) (3.4)

Таким образом, получена линейная система (3.4) из n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющими собой значения искомой функции y=y(x) в точках .

Систему уравнений (3.4) запишем в матричном виде, при этом получается трехдиагональная матрица коэффициентов:

1 0 0 0 0 ..…………. 0 0 0 0 A

1 0 0 ………….....0 0 0 0

0 1 0………….....0 0 0 0 ……. …….

………………………….……....……... …….. = …….. (3.5)

…………………………....... 1 …….

…………………………….…...... 0 1 B

Находим решение системы методом алгебраической прогонки. Метод прогонки состоит из двух частей: прямой ход и обратный ход. Метод прогонки можно применять, если нигде в формулах знаменатели не равны нулю. Для применимости формул метода прогонки достаточно выполнения условий диагонального преобладания у матрицы A, то есть причем хотя бы одно неравенство должно быть строгим.

Рассмотрим рассчётные формулы метода прогонки в порядке их применения.

Прямой ход метода прогонки (вычисление вспомогательных величин):

(i=1,2,...,n-1)

Обратный ход метода прогонки (нахождение решения):

где (i=1,2,...,n-1)

Приведем матрицу (3.5) к двухдиагональному виду. Предположим, что из (3.4) исключена неизвестная . Тогда это уравнение примет вид:

(3.7)

где (i=1,2,...,n-1) некоторые коэффициенты.

В прямом ходе метода прогонки определяются коэффициенты зная Найдем эти коэффициенты, для этого запишем

Подставим это выражение в (3.4) и, выразив , будем иметь:

(3.8)

Сравнивая формулы (3.7) и (3.8), получим рекуррентные формулы для определения и :

(i=1,2,...,n-1) (3.9)

Определим теперь и . Из (3.7) при i=0 получим:

(3.10)

Сравнивая (3.10) и первое краевое условие из (1.2), находим:

При обратном ходе, используя формулу (3.7) и условие , последовательно находим

Точность в методе конечных разностей достигается аналогичным способом, приведенным в методе сведения краевой задачи к задаче Коши, так как полученная точность зависит от шага разбиения отрезка [a, b].