Билет №8

Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

• Противоположные стороны параллелограмма равны.

.

• Противоположные углы параллелограмма равны.

• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

.

• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.

• Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

• Сумма всех углов равна 360°.

• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны

Прямоугольные треугольники равны по катету и противолежащему ему углу.

Доказательство:

Если в двух прямоугольных треугольниках равны соответственные острые углы, то и другие острые углы у них тоже равны. (Так как они равны 90 градусов минус другой острый угол).

Получается, что у нас есть два треугольника, у которых равны соотв. сторона и два прилежащих к ней угла (один мы только что выяснили, второй равен 90).

Билет №9

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

1. Противоположные стороны попарно равны:  .

2. Противоположные углы попарно равны:  .

3. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам:  .

4. Сумма соседних углов равна 180 градусов:  .

5. Противоположные стороны равны и параллельны:  .

6. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.

7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма: 

Билет №10

Трапеция – четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Виды:

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.

• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Свойства углов при основании:

Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

• В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.

• Центр O вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.

• Радиус вписанной в треугольник окружности равен

• Если AB — основание равнобедренного  , то окружность, касающаяся сторон   в точках A и B, проходит через точку О.