2. Графический метод решения задачи оптимизации производственной программы

Графический метод характеризуется простотой и наглядностью, однако, он недостаточно точен и применим только для задач с не более чем тремя переменными. Последнее обусловлено тем, что человек, живущий в трехмерном пространстве практически не способен представить себе визуально пространство более высокого порядка.

Метод основан на том, что каждое ограничение неравенство отсекает в n-мерном пространстве n-мерную полуплоскость (в данной контрольной работе это двухмерное пространство (плоскость) и простая полуплоскость). Совокупность этих полуплоскостей (если ограничения совместны) образует n-мерную область допустимых решений (ОДР). Оптимальное решение достигается в одной из вершин многогранника. Для определения этой вершины необходимо построить поверхность уровня целевой функции (в контрольной или расчетно-графической работе – линию уровня). Затем, следует перемещать эту поверхность (линию) в направлении градиента до крайней точки (ОДР).

Пусть имеется математическая модель:

2Х₁+3Х₂≤60; 3Х₁+2Х₂≤60; 4Х₁+20Х₂≤200; F=40Х₁+30Х₁→Мах.

Перейдем от неравенств к равенствам:

2Х₁+3Х₂=60; 3Х₁+2Х₂=60; 4Х₁+20Х₂=200; 40Х₁+30Х₂=0.

Это уравнения прямых линий, которые строятся по двум точкам:

Для первого ограничения –

Х₁=0; Х₂=20; Х₂=0; Х₁=30.

Для второго ограничения -

Х₁=0; Х₂=30; Х₂=0; Х₁=20.

Для третьего ограничения –

Х₁=0; Х₂=10; Х₂=0; Х₁=50.

Градиент функции – это вектор, характеризующий направление и скорость изменения функции (в данном случае – целевой функции). Он определяется ее частными производными по каждой переменной:

(2.2.2)

Линия уровня целевой функции перпендикулярна градиенту.

Графическое решение данной задачи приведено на рисунке 2.2.1.

Рисунок 2.2.1 – Графическое решение задачи

Область допустимых решений в данном случае образуется четырехугольником ОВСД. Ни одна точка внутри него или на его границе не противоречит ни одному из ограничений. Оптимальное решение находится в одной из вершин четырехугольника. Для нахождения оптимального решения перемещаем линию уровня целевой функции в направлении градиента до крайней точки ОДР. Такой точкой является точка С с координатами: Х₁=16; Х₂=8. Значение целевой функции F=40×16+30×8=880. Очевидно, что это решение не отличается высокой точностью, что характерно для графического метода.

Из рисунка видно, что ресурсы второго и третьего вида использованы полностью, а ресурс первого вида оказался в избытке. Для количественной оценки этого избытка определим сначала расход данного ресурса: 2×16+3×8=56. Запас равен 60, тогда остаток составит 60-56=4.

3. Графическое решение задачи с помощью Excel

Программа Microsoft Excel-2000 предназначена для работы с электронными таблицами, позволяющими собирать, анализировать и представлять количественную информацию в автоматическом режиме. Файл, создаваемый в Excel, называется рабочей книгой, которая состоит из рабочих листов. Рабочую книгу студент должен переименовать, ей понятное имя (например, Граф.мет1), и поместить в свою рабочую папку.

На рисунке 2.2.2 приведен пример организации исходных данных для решения графическим методом задачи (см. ф-лу (2.2.1)).

Рисунок 2.2.2 – Пример организации исходных данных для графического решения задачи в Excel

Любое ограничение неравенство задачи линейного программирования в случае двух переменных строится по двум точкам. Например, ограничение по запасам сырья второго вида строится следующим образом. От неравенства переходим к равенству: 10Х₁+5 Х₂=200.

Задается любое значение одной переменной. (В данном случае Х₁=0 занесено в ячейку В12 см. рис.2.2.3). Вторая координата этой точки вычисляется из уравнения:

Х₂=(200-10Х₁)/5.

Рисунок 2.2.3 – Ввод формулы для вычисления Х₂

Эта формула введена в ячейку D12. Затем задается значение второй переменной. (Х₂=0 занесено в ячейку D13 см. рис. 2.2.4). Вторая координата этой точки вычисляется из уравнения:

Х₂=(200-5Х₁)/10.

Эта формула введена в ячейку B13.

Рисунок 2.2.4 – Ввод формулы для вычисления Х₁

После организации исходных данных необходимо выделить ячейки В10-J25 , щелкнуть «мастер диаграмм» и на первом шаге выбрать точечный вид диаграммы, а затем нажать «далее» (см. рис. 2.2.5).

Рисунок 2.2.5 – Выбор вида диаграммы

На втором шаге в подменю «Диапазон программирования» отметить, что ряды в столбцах (рис. 2.2.6), а в «Ряд» подписать имена рядов (см. рис. 2.2.7).

Рисунок 2.2.6 – Определение диапазона программирования

Рисунок 2.2.7 – Запись имен рядов

Третий и четвертый шаги можно пропустить. После нажатия на «готово» появляется график, пример которого приведен на рисунке 2.2.8.

Рисунок 2.2.8 – Пример графического решения задачи в Excel

Обычно, как и в данном примере, масштабирование оказывается настолько неудачным, что не видно не только оптимального решения, но и самой области допустимых решений. В этом случае необходимо навести курсор на ось Х, «щелкнуть» правой кнопкой мыши и установить целесообразные максимальные и минимальные значения, а так же цену делений. То же самой следует повторить и со шкалой У.

На рисунке 2.2.9 приведен пример графического решения со скорректированным масштабированием.

Оптимальное решение получается путем перемещения линии уровня целевой функции параллельно самой себе в направлении градиента до крайней точки области допустимых решений. В данном случае эта точка отмечена пунктирной линией.

Рисунок 2.2.9 – Пример графического решения задачи в Excel